河南省安阳市县第四中学高二数学理期末试题含解析

河南省安阳市县第四中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ） 参考答案： D 2. 下列函数在（0，2）上是增函数的是（ 　  ） A．  B. C.  D. 参考答案： B 略 3. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（   ）部分 A 5        B 6         C 7         D 8                    参考答案： C 4. 当时，下面的程序段输出的结果是（  ）     A．             B．             C．            D． 参考答案： D 5. 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案． 【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=， 则F（，0）． ∴过A，B的直线方程为y=（x﹣）， 即x=y+． 联立，得4y2﹣12y﹣9=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=3，y1y2=﹣． ∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题． 6. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　） A．（﹣，1） B．（﹣∞，﹣） C．（0，） D．（1，+∞） 参考答案： A 【考点】33：函数的定义域及其求法． 【分析】函数f（x）=+lg（3x+1）有意义，只需3x+1＞0，且1﹣x＞0，解不等式组，即可得到所求定义域． 【解答】解：函数f（x）=+lg（3x+1）有意义， 只需3x+1＞0，且1﹣x＞0， 即有x＞﹣且x＜1， 可得﹣＜x＜1， 即定义域为（﹣，1）． 故选：A． 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，分式的分母不为0和根式的被开方数非负，考查运算能力，属于基础题． 7. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　） A． B．   C．D． 参考答案： D 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得， 相减得， ∴． ∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==． ∴， 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9． ∴椭圆E的方程为． 故选D． 【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键． 8. 要得到函数y=sin(4x+)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（   ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 参考答案： A 9. 平面内点P(x,y)的坐标满足方程，则动点P的轨迹是（  ） A、椭圆         B、双曲线       C、抛物线       D、直线 参考答案： D 略 10. 椭圆的焦点坐标为（    ） A．        B． C． D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的定义域是                参考答案： 12. 若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 参考答案： 解析：                         13. 已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线相切,则a=        ． 参考答案： 8 试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得. 考点：导函数的运用. 【方法点睛】求曲线在某一点切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数． 14. 已知动点在曲线上移动，则点与点连线的中点M的轨迹方程是       ***       ．  参考答案： 略 15. 若曲线在点处的切线平行于轴,则_________. 参考答案： 16. 将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________． 参考答案： 16,28,40,52 解析　由于从60个中抽取5个，故分组的间距为12，又第一组的号码为04，所以其他四个号码依次是16,28,40,52. 答案 16,28,40,52 17. 给出下列四个结论： ①“若则”的逆命题为真； ②函数（x）有3个零点； ③对于任意实数x，有且x>0时,，则x<0时 其中正确结论的序号是           .（填上所有正确结论的序号） 参考答案： ③ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示． 甲组　　　　乙组 (1)（文科作）求甲组同学植树棵数的平均数和方差； （理科作） 如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数) 参考答案： (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为＝＝； 方差为s2＝＝. (2)记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11； 乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)， (A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)． 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝＝.   19. (本小题12分) 2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只． (1)求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率； (2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列及数学期望． 参考答案： 略 20. 已知函数,函数 ⑴当时,求函数的表达式; ⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值; 参考答案： 解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为： ．………………………………5分 用数学归纳法证明如下： （1）当时，，猜想成立；………………………6分 （2）假设当时，猜想成立，即，……………7分 则当时， ， 即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．………………………….12分 略 21. 已知求函数的最小值。 参考答案： 解析： 令，则 对称轴，而 是的递增区间，当时， 。 22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，E是BC中点． （1）求证：平面； （2）在棱上存在一点M，满足，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）连结交于点，根据三角形中位线可知；利用线面平行判定定理可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用可得，从而可得点坐标；利用空间向量法，利用两个平面的法向量所成角可得到所求角的余弦值. 【详解】（1）证明：连结交于点，连结 是正方形    为的中点 又为的中点    平面,平面 平面 （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，， 设，，则，     ，解得： ，则， 设平面法向量 则，令，得 平面    可取平面的法向量为 平面与平面所成锐二面角的余弦值为：