2022-2023学年湖南省衡阳市衡山县杨家湾实验中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：
①M、N都在函数的图象上；②M、N关于原点对称．
则称点对[M，N]为函数的一对“友好点对”(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)．
已知函数，此函数的“友好点对”有
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
参考答案：
C
2. 已知，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．
解答： 解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．
∴双曲线的渐近线方程为y=±3x
∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，
此时，离心率e==．
故选：C．
点评： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
4. 复数,是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 已知二次曲线，则当时，该曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
答案：Ｃ
6. 函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
参考答案：
D
7. 已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）
（A）两个函数的图象均关于点成中心对称
（B）两个函数的图象均关于直线成轴对称
（C）两个函数在区间上都是单调递增函数
（D）两个函数的最小正周期相同
参考答案：
C
略
8. 已知函数满足，若函数与的图像交点为，则（ ）
A. 0 B. 2m C. 4m D. m
参考答案：
B
【分析】
根据函数解析式和可判断出两个函数均关于点(1,1)对称；从而可知交点关于(1,1)对称，从而可知横坐标和为m，纵坐标和为m，从而可得结果.
【详解】，可知关于点对称
又，即，可知关于点对称
，
本题正确选项：B
【点睛】本题考查函数对称性的应用，关键是能够判断出两个函数均关于点(1,1)对称，可知交点关于点(1,1)对称，进而可分别求得横纵坐标之和.
9.
如图在等腰中，AB=AC，D为BC中点，条件：向量且。是点P在内的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充要条件 D．既不充分也不必要
参考答案：
答案:B
10. 已知是的共轭复数，且，则的虚部是（ ）
(A) (B) (C) 4 (D) －4
参考答案：
A
设，则，所以
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，，则 ．
参考答案：
2
由 ，，得：5x+1×(－3)=7，解得x=2，故答案为2.
12. 若（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|= ．
参考答案：
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+ai）i=2﹣bi，其中a、b∈R，
∴﹣a+i=2﹣bi，
∴﹣a=2，1=﹣b，
解得a=﹣2，b=﹣1．
则|a+bi|=|﹣2﹣i|=|2+i|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
13. 已知函数满足，则=_______
参考答案：
0
略
14. 关于x的方程2x=只有正实数的解，则a的取值范围是 。
参考答案：
，规定mn=|m||n|sin．F1，F2是椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点，点M，N分别是其上顶点，右顶点，且，离心率e=.
(I)求椭圆的方程；
(II)过点F2的直线交椭圆C于点A，B，求的取值范围．
参考答案：
22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PCD；（Ⅱ）求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．
参考答案：
（Ⅰ）证明：取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，故以OA为轴，OP为轴建立空间直角坐标系…1分
设，则，，，，故可求得：， ……3分
∴，，
∵，
∴， ∴平面
∴平面 ……………………6分
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则
，取 ……8分
为平面的一个法向量， ……………………9分
故 ……………………11分
故平面与平面的夹角余弦值为 ……………………… ……12
