资源描述
2021～2022学年高三第一学期期中试卷
数学试题
(满分：150分 考试时间：120分钟)
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知集合M＝[－1，1]，N＝{x|x2－2x≤0}，则M∪N＝( )
A. [－1，1] B. [0，1] C. [－1，2] D. [－1，0]
2. 设f(x)＝x＋(x∈R)，则“x＞0”是“f(x)＞6”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足z·z＝z2，则( )
A. a＝0，b≠0 B. a≠0，b＝0
C. a＝0 D. b＝0
4. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a，则a6＝( )
A. 220 B. 224 C. 21 024 D. 24 096
5. 下列向量一定与向量－垂直的是( )
A. ＋ B. －
C. a＋b D. a－b
6. 已知sin (2θ－)＝－，θ∈(0，)，则sin (θ＋)＝( )
A. B. C. D.
7. 若函数y＝sin 2x与y＝sin (2x＋φ)在(0，)上的图象没有交点，其中φ∈(0，2π)，则φ的取值范围是( )
A. [π，2π) B. [，π]
C. (π，2π) D. [，π)
8. 函数f(x)＝ln x－的零点最多有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
9. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有( )
A. a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…
B. a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…
C. S2，S4－S2，S6－S4，…
D. S3，S6－S3，S9－S6，…
10. 如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转至点Q，则·(－)的值可能为( )
A. －1 B. －C. － D. －
11. 已知函数f(x)＝＋，下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)是偶函数
B. 函数f(x)的最小正周期为2π
C. 函数f(x)的值域为(1，2]
D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为
12. 若正实数x，y满足ln y－ln x＞y－x＞sin y－sin x，则下列不等式可能成立的有( )
A. 0＜x＜1＜y B. y＞x＞1
C. 0＜y＜x＜1 D. 0＜x＜y＜1
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则g(2)＋g(－2)＝________．
14. 试写出一个先减后增的数列{an}的通项公式：an＝________．
15. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝(a＋b＋c)，则该三角形的面积S＝，这就是著名的“秦九韶－海伦公式”．若△ABC的周长为8，AB＝2，则该三角形面积的最大值为________．
16. 函数f(x)＝ln (1＋x)在x＝0处的切线方程为____________．由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，的值无限接近于1.于是，当x无限接近于＋∞时，(1＋)x的值无限接近于________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的图象Γ与y轴交点的纵坐标为，Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求f(x)在[0，]上的值域．
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}是首项为1－2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，，a3成等比数列．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设{an}的前n项和为Sn，求|S10|.
19. (本小题满分12分)
在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC＝AD＝，CD＝2.
(1) 求sin ∠BAC的值；
(2) 求边AB的长．
20. (本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1) 求证：a2n＋1－a2n－1＝2；
(2) 设bn＝a2n－1＋，求{bn}的前n项和Sn.
21. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cos B，b＝cos A.
(1) 求证：存在△ABC，使得c＝1；
(2) 求△ABC面积S的最大值．
22. (本小题满分12分)
设函数f(x)＝ex－x2＋mln (x＋2)－2.
(1) 求证：当m＝0时，f(x)＞0在x∈(2，＋∞)上总成立；
(2) 求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．
2021～2022学年高三第一学期期中试卷(盐城)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. B 9. BD 10. ABC 11. AD 12. AD
13. 14. |n－2|(答案不唯一) 15. 2 16. y＝x e2
17. 解：(1) 因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象Γ与y轴交点的纵坐标为，
所以sin φ＝，又0<φ<，所以φ＝.(3分)
因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为，
所以ω×＋φ＝，得ω＝2，
则f(x)的解析式为f(x)＝sin (2x＋).(6分)
(2) 因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，
所以sin (2x＋)∈[－，1]，即f(x)在[0，]上的值域为[－，1].(10分)
18. 解：(1) ∵a1，，a3成等比数列，a1＝1－2i，
∴＝，∴a3＝＝1＋2i.(2分)
设{an}的公差为d，则a3－a1＝(1＋2i)－(1－2i)＝4i＝2d，∴d＝2i，(4分)
则an＝a1＋(n－1)d＝1－2i＋(n－1)×2i＝1＋(2n－4)i，
即{an}的通项公式为an＝1＋(2n－4)i.(6分)
(2) S10＝10a1＋d＝10(1－2i)＋×2i＝10＋70i，(9分)
∴ |S10|＝＝50.(12分)
19. 解：(1) 在△ADC中，cos ∠DAC＝＝.
∵ sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，sin∠DAC>0，∴ sin ∠DAC＝.(3分)
又AD为∠A的角平分线，
∴sin ∠BAC＝sin 2∠DAC＝2sin ∠DAC·cos ∠DAC＝.(6分)
(2) (解法1)在△ABC中，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
即AB·AC·sin ∠BAC＝AB·AD·sin ∠BAD＋AD·AC·sin ∠DAC，(9分)
∴AB××＝AB××＋×××，∴AB＝.(12分)
(解法2)在△ADC中，cos ∠ADC＝＝，
∴ cos ∠ADB＝cos (π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝－.
∵AD为∠A的角平分线，∴＝，即＝，∴BD＝AB.(9分)
在△ADB中，AB2＝DA2＋DB2－2DA·DB·cos ∠ADB，
即AB2＝10＋(AB)2－2×AB×(－)，∴AB＝.(12分)
(解法3)求出sin B与sin ∠ADB，在△ADB中用正弦定理即得，参照评分．
20. (1) 证明：∵a2n＋1＝＋1，a2n＝22n(a2n－1＋1)，
∴a2n＋1＝＋1＝＋1，
∴a2n＋1＝a2n－1＋2，即a2n＋1－a2n－1＝2.(4分)
(2) 解：由(1)可知数列{an}的奇数项成等差数列，∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1，
∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.(7分)
又a2n＝22n(a2n－1＋1)＝2n·22n，∴＝22n＝4n，
∴数列{}成等比数列，∴＋＋…＋＝4＋42＋…＋4n＝＝，
∴Sn＝n2＋.(12分)
21. (解法1)(1) 证明：因为a＝cos B，b＝cos A，由正弦定理＝，得＝.
所以sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B.(2分)
在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B<π，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
当A＋B＝时，C＝，所以c2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1，即c＝1，
所以存在△ABC，使得c＝1.(5分)
(2)解：① 当A＋B＝时，S△ABC＝cos A cos B＝sin A cos A＝sin 2A≤；(8分)
②当A＝B时，S△ABC＝cos2A sin(π－2A)＝cos2A sin2A＝sin A cos3A，
所以S＝sin2A cos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)
令x＝cos2A∈(0，1)，则S＝f(x)＝(1－x)x3，
所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0；当x∈(，1)时，f′(x)＜0，
所以当x＝时，f(x)max＝f()＝，即当cos2A＝，A＝时，(S△ABC)max＝.
又＞，所以△ABC面积的最大值为.(12分)
(解法2)(1)证明：当a＝，b＝，c＝1时满足条件，故存在△ABC，使得c＝1.(5分)
(注：满足a2＋b2＝1即可，满足C＝也可)
(2) 解：因为a＝cos B，b＝cosA，由正弦定理＝，得＝，
所以sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B.(7分)
在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B＜π，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.
①当A＋B＝时，S△ABC＝cos A cos B＝sin A cos A＝sin 2A≤；(8分)
②当A＝B时，S△ABC＝cos2A sin(π－2A)＝cos2A sin2A＝sin A cos3A，
所以S＝sin2A cos6A＝(1－cos2A)cos6A.(9分)
令x＝cos2A∈(0，1)，则S＝f(x)＝(1－x)x3，
所以f′(x)＝－x3＋3(1－x)x2＝x2(3－4x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0；当x∈(，1)时，f′(x)＜0，
所以当x＝时，f(x)max＝f()＝，即当cos2A＝，A＝时，(S△ABC)max＝，
又＞，所以△ABC面积的最大值为.(12分)
22．证明：(1) 当m＝0时，f(x)＝ex－x2－2，要证f(x)＞0，即证＜1，
令g(x)＝(x＞2)，所以g′(x)＝＜0，故g(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以g(x)＜g(2)＝＜1，
所以当m＝0时，f(x)＞0在x∈(2，
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