江苏省无锡市文林中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市文林中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数（其中,）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只要将的图象 A．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变     C．先向左平移个单位长度 ，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变     D．先向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 参考答案： A 由图可知，，即，解得. 时，,又，所以. . 将f(x)的图象先向右平移个单位长度，得到. 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到. 故选A.   2. 当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是（　　）                                          A                 B                    C                  D 参考答案： A 略 3. 下列函数中与为同一函数的是 A.   B.    C.     D. 参考答案： B 略 4. 在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（　　） A．        B．     C．       D． 参考答案： C 略 5. 设函数D(x)=，则下列结论错误的是（　　） A．D（x）的定义域为R B．D（x）的值域为{0，1} C．D（x）是偶函数 D．D（x）是单调函数 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【分析】由函数定义域的概念易知结论A 正确；由函数值域的概念易知结论B正确；由偶函数定义可证明结论C 正确；由函数单调性定义，易知D论不正确； 【解答】解：由于， 则函数的定义域为R，故A正确； 函数D（x）的值域是{0，1}，故B正确； 由于=D（x），则D（x）是偶函数，故C正确； 由于D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D不正确； 故选：D 　 6. 已知在映射下的象是，则象(1,7)在下的原象为(　   ) A．(8，－6 )　　　　 B．(－3，4)       C．(4，－3)      D． (－6，8)   参考答案： C 略 7. 如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（　　）   A.i＞20    B.i＜20    C.i＞=20   D.i＜=20 参考答案： C 8. 已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（　　） A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案． 【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0 ∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2） 故选B． 9. 下列说法正确的是（　　） A．一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α≤180° C．任何一条直线都有斜率 D．任何一条直线都有倾斜角 参考答案： D 【考点】直线的倾斜角． 【分析】直接由直线的倾斜角的概念和范围判断A，B，由特殊角判断C，则答案可求． 【解答】解：对于A：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角，故A不正确； 对于B：直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°，故B不正确； 对于C：倾斜角为90°的直线没有斜率，故C不正确； 对于D：任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故D正确． 10. 已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，则M∩N＝ (  )     B．｛x|0＜x＜3｝   C．｛x|1＜x＜3｝   D．｛x|2＜x＜3｝ 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为　．　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离． 【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为： = 故答案为：． 12. 数列{an}的通项公式为，其前n项和为Sn，则________. 参考答案： 1009 【分析】 先通过列举得到从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.再根据是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，求出，再求解. 【详解】由题得， ，， ，， ，， , 故可以推测从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推. , 又是以-1为首项，以-4为公差的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：1009 【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 13. 若幂函数的图像过点(2,8)，则a=          ． 参考答案： 3 ∵幂函数的图像过点(2,8)，，故答案为3.   14. （5分）已知点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上，若f（x）=g（x），则x=         ． 参考答案： ±1 考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 计算题；待定系数法． 分析： 由题意，可设f（x）=xα，g（x）=xβ，再由题设条件点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上，得到方程解出α，β的值，即可得到两个函数的解析式，再由f（x）=g（x），解方程求了x的值 解答： 由题意，可设f（x）=xα，g（x）=xβ ∵点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上 ∴=2，= 解得β=﹣2，α=2 ∴f（x）=x2，g（x）=x﹣2，又f（x）=g（x）， ∴x2=x﹣2，解得x=±1 故答案为±1 点评： 本题考点是幂函数的应用，考查了幂函数的定义，求幂函数解析式的方法，求两个函数交点坐标的方法，解题的关键是理解幂函数的定义，用待定系数法求出幂函数的解析式，待定系数法是知道函数性质求函数解析式的常用方法，其特点是设出函数解析式，建立方程求出待定的系数得到函数的解析式，本题考查了待定系数法，方程的思想，属于基础概念考查题 15. 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列 那么位于表中的第100行第101列的数是      ． 参考答案： 10100 略 16. 已知函数y=的单调递增区间为　　   ． 参考答案： （﹣∞，﹣1） 【考点】复合函数的单调性． 【分析】令t=x2﹣1＞0，求得函数的定义域，再由y=，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论． 【解答】解：令t=x2﹣1＞0，求得x＞1，或 x＜﹣1，故函数的定义域为{x|x＞1，或 x＜﹣1}，且y=， 故本题即求函数t在定义域内的减区间． 再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）． 17. 已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为__________． 参考答案： 由题意，得，而， 所以． 则扇形的圆心角． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设平面向量＝，，，， ⑴ 若，求的值； ⑵ 若，证明:和不可能平行； ⑶ 若，求函数的最大值，并求出相应的值． 参考答案： 解：⑴ 若，则， 所以. ⑵ 假设与平行，则即， 而时，，矛盾.　 ⑶ 若则 所以. 略 19. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面为菱形，B1C的中点为O，且平面． (1)证明：； (2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值． 参考答案： (1)见证明；(2)二面角图见解析； 【分析】 （1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出； （2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案。 【详解】（1）连接， 因为侧面为菱形， 所以，且与相交于点． 因为平面，平面， 所以． 又，所以平面 因为平面，所以． （2）作，垂足为，连结， 因为，，，           所以平面， 又平面，所以.  所以是二面角平面角. 因为，所以为等边三角形， 又，所以， 所以. 因为，所以. 所以. 在中，. 【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直关系，二面角的求解一般有以下几种方法：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④射影面积法；⑤空间向量法。在求解时，可以灵活利用这些方法去处理。 20. （本小题满分12分）已知不等式的解集为 ⑴ 求的值； ⑵ 求函数在区间上的最小值。 参考答案： 21. （本题满分16分） 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设为数列的前项和，若≤对一切恒成立，求实数的最小值. 参考答案： 解：（1）当时，,不成等差数列。…………2分 当时，  ， （若没用求和公式则无需上面分类讨论） ∴ ，  ∴，∴  …………6分  ∴ …………7分 （2） …………9分  …………12分  ≤ ，∴≤ …………14分 ∴≥  又≤ ，（也可以利用函数的单调性解答） ∴的最小值为        …………16分  略 22. （本小题满分12分）． 已知向量，，函数． （Ⅰ）试用五点作图法画出函数在一个周期内的图象（要求列表）； （Ⅱ）求方程在内的所有实数根之和． 参考答案： （Ⅰ）．…………2分 列对应值表如下： 0 0 1 0 －1 0 …………4分 通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数在一个周期内的图象如下图所示： ………………6分 （Ⅱ）∵的周期， ∴在内有3个周期． ………………7分 令，所以， 即函数的对称轴为．………………8分 又，则 且，所以在内有6个实根，……………9分 不妨从小到大依次设为， 则，，． ∴所有实数根之和==．……………12分