湖南省长沙市启航学校高一数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市启航学校高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中   ⑴BM与ED平行        ⑵CN与BE是异面直线    ⑶CN与BM成      ⑷DM与BN垂直    以上四个命题中，正确命题的序号是（   ） A、 ⑴⑵⑶         B、 ⑵⑷      C、 ⑶⑷         D、 ⑵⑶⑷ 参考答案： C 略 2. 已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（    ） A．(－1,1)     B．(－1,+∞)       C．(－∞,1)    D．(－∞,－1)∪(1,+∞) 参考答案： A 3. 函数 的一条对称轴可以是直线(     )   A.     B.      C.   D. 参考答案： B 4. 函数的单调增区间是（     ）． A．     B．     C．       D． 参考答案： B 略 5. 满足条件的集合M的个数是   A．4    B．3   C．2   D．1 参考答案： C 6. 下列不等式的证明过程正确的是 (　　) A．若，则    B．若，则 C．若，则  D．若，则 参考答案： D 7. 设命题甲:的解集是实数集R;命题乙:,则命题甲是命题乙成立的                                  (   )       A . 充分非必要条件             B.必要非充分条件         C. 充要条件                   D. 既非充分又非必要条件 参考答案： B 略 8. 把函数y＝sinx－cosx的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的值可以是 A.                        B.                       C.                 D.   参考答案： A 9. （5分）函数y=+的定义域为（） A． （﹣1，1） B． [﹣1，1） C． （﹣1，1）∪（1，+∞） D． [﹣1，1）∪（1，+∞） 参考答案： D 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案． 解答： 要使函数有意义，则 ， 解得x≥﹣1且x≠1， ∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠1}，也即[﹣1，1）∪（1，+∞）． 故答案为：D 点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 10. 已知函数在区间上是减函数， 则实数的取值范围是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数 的定义域为______. 参考答案： 或 12. （5分）函数f（x）=，x∈的最小值是         ． 参考答案： 3 考点： 函数的值域． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 分离常数可得f（x）==2+，从而求最小值． 解答： 函数f（x）==2+， ∵x∈， ∴x﹣1∈； 故1≤≤3； 故3≤2+≤5； 故函数f（x）=，x∈的最小值是3； 故答案为：3． 点评： 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择． 13. 若幂函数y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是　　． 参考答案： m=3 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m﹣1=1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条． 【解答】解：因为函数y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2既是幂函数又是（0，+∞）的减函数， 所以，?，解得：m=3． 故答案为：m=3． 14. 执行如下的程序，若输入的n=﹣3，则输出的m=　 　． 参考答案： 3 【考点】程序框图． 【专题】计算题；分类讨论；分析法；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值，从而可得当n=﹣3时，m=﹣2×（﹣3）﹣3=3． 【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出m=的值， ∵当n=﹣3时，﹣3＜﹣3不成立， ∴m=﹣2×（﹣3）﹣3=3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了选择结构的程序算法，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基础题． 15. 函数（＞-4）的值域是____________________. 参考答案： 16. 若,,则最小值是_          参考答案： 17. （2016秋?建邺区校级期中）若函数f（x）=2x+3，函数g（x）=，f（g（27））的值是　 　． 参考答案： 9 【考点】函数的值． 【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】先求出g（27）==3，从而f（g（27））=f（3），由此能求出结果． 【解答】解：∵f（x）=2x+3，函数g（x）=， ∴g（27）==3， f（g（27））=f（3）=2×3+3=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题13分) 如图一所示，边长为1的正方体中，分别为的中点。K^S*5U.C （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若为的中点，证明：； （Ⅲ）如图二所示为一几何体的展开图，沿着图中虚线将它们折叠起来，所得几何体的体积为，若正方体的体积为，求的值。 参考答案： （1）证明：取的中点，连接，， ∵F、H分别是的中点， ∴且， ∵在正方体中，， 又分别为的中点， ∴， ∴四边形FHBE为平行四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：取BC中点I，连接GI，AI， 在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点， ∴， ∵ ∴， 又， ∴，又， ∴ 由四边形为平行四边形得， ∴； （3）如图二所示，该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形， ∴，又， ∴． 略 19. 已知函数的一系列对应值如下表：       （1）根据表格提供的数据求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）若当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）设的最小正周期为， 得， 由，得， 又，解得 ，      令， 即， 解得， 所以.       （2）当， 即时，函数单调递增.     令，得， 所以函数的对称中心为. (3) 方程可化为.      因为，所以， 由正弦函数图像可知，实数的取值范围是. 略 20. 对于给定的正整数，．对于，，有： （）当且仅当，称． （）定义． （Ⅰ）当时，，请直接写出所有的，满足． （Ⅱ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值． 参考答案： 见解析 解：（Ⅰ），，，． （Ⅱ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，则中任意两个元素相同位置不能同时出现，满足这样的元素有，，，共有个． 故中元素个数的最大值为． （Ⅲ）不妨设其中，，， 显然若，则， ∴与不可能同时成立， ∵中有个元素， 故中最多有个元素． 21. 首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题。某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ks5u 参考答案： 解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： ， 在上是 增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元． （2）设该单位每月获利为,则ks5u   ．                                                         因为，所以当时，有最大值．     故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损。 22. （本小题满分12分） 设a为实数，函数． （1）若，求a的取值范围； （2）讨论f(x)的单调性； （3）当时，讨论在区间(0,+∞)内的零点个数． 参考答案： 解：（1），因为，所以， 当时，，显然成立；……………………………………………………………………………1分 当，则有，所以.所以.……………………………………………………2分 综上所述，的取值范围是.………………………………………………………………………3分 （2）…………………………………………………4分 对于，其对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增；……………………………………………………5分 对于，其对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减. ……………………………………………………6分 综上所述，在上单调递增，在上单调递减. ……………………7分 （3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.8分 (i)当时，， 令，即（）. 因为在上单调递减，所以 而在上单调递增，，所以与在无交点. 当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.………9分 (ii)当时，， 当时，，，而在上单调递增， 当时，.下面比较与的大小 因为 所以………………………………………………………10分 结合图象不难得当时，与有两个交点. ………………………11分 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. ………12分