2023年江苏省常州市溧阳市光华高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

2023年江苏省常州市溧阳市光华高级中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p:函数在定义域上为减函数，命题q:在△ABC中，若　，则，则下列命题为真命题的是（    ） A． 　　　B．   　C．   　　 D． 参考答案： B 函数在定义域上不是单调函数，命题p为假命题； 在中，当时，满足，但是不满足，命题q为假命题； 据此逐一考查所给命题的真假： A.为假命题； B.为真命题； C.为假命题； D.为假命题； 本题选择B选项.   2. 若是上周期为5的奇函数，且满足，则( ) A、－1 B、1 C、－2 D、2 参考答案： A 3. 已知直角坐标系中点，向量则点的坐标为（    ） A.(11,8)            B.(3,2)           C.(－11,－6)        D.(－3,0) 参考答案： C 4. 如图所示的程序框图，若执行运算，则在空白的执行框中，应该填入（    ） A．             B．   C．             D． 参考答案： C 5. 已知方程的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： D 6. 函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若数列的前项和为，且满足，则=  A ．        B．       C．        D． 参考答案： D 略 7. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件： ①P、Q都在函数y=f（x）的图象上； ②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）， 已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 参考答案： C 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【专题】压轴题；新定义． 【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可． 【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x， 可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x， 则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x 由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象， 看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数． 如图， 观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即f（x）的“友好点对”有：2个． 故答案选 C． 【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决． 8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=． 再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）． 故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象， 故选：C． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 9. 集合，全集，则 A．    B．     C．    D． 参考答案： D 略 10. 某人睡午觉醒来， 发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是                          (   ） A．            B．            C．            D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的最小正周期为     参考答案： 12. (必修1P54测试6改编)已知函数f(x)＝mx2＋x＋m＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 参考答案： 13. 当x＞1时，函数的最小值为　 　． 参考答案： 3 考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 变形利用基本不等式就看得出． 解答： 解：∵x＞1， ∴==3，当且仅当x=2时取等号． 故答案为：3． 点评： 本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题． 14. 已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为        ． 参考答案： 9 由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。，即，所以，当且仅当         三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9. 15. 已知△ABC中，，D为边BC上一点，，，则的值为______. 参考答案： 【分析】 以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，记，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可． 【详解】解：以原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则， ∵，记， ∴，，， 则，， ∵，， ∴，， ∴，， 又为边上一点， ∴，则，即， 又， ∴ ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题． 16. 在区间和上分别取一个数，记为和，则方程，表示焦点在y轴上的椭圆的概率是      . 参考答案： 本题为几何概型概率，测度为面积，分母为矩形，面积为8，分子为直线在矩形中上方部分（直角梯形），因为面积直线正好平分矩形，所以所求概率为 17. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则此双曲线两条准线间距离为_____． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知的最小值为． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）已知，，且，求证：． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 【分析】 （Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出的最小值，与已知最小值相等列式可求出； （Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明． 【详解】（Ⅰ）由题意，函数， 可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为， 又因为函数的最小值为，可得，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ），，且， 要证， 只要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 显然，当且仅当时取等号． 所以． 【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 19. 某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为元时，全年的促销费用为万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量万件，其中4为常数.当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件. （Ⅰ）求出的值； （Ⅱ）若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润万元与售价元之间的关系； （Ⅲ）当该商品售价为多少元时，使厂家销售该商品所获年利润最大. 参考答案： 略 20. （16分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）． （1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域； （2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】（1）先根据a的值求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出函数y=f（x）的最小值，注意等号成立的条件，从而求出函数y=f（x）的值域； （2）将函数y=f（x）在定义域上是减函数，转化成f′（x）≤0对x∈（0，1]恒成立，然后将a分离出来得到a≤﹣2x2， x∈（0，1]，只需a≤（﹣2x2）min即可，从而求出a的取值范围． 【解答】解：（1），∵x∈（0，1] ∴当且仅当，即时，， 所以函数y=f（x）的值域为； （2）因为函数y=f（x）在定义域上是减函数， 所以对x∈（0，1]恒成立， 即a≤﹣2x2，x∈（0，1]，所以a≤（﹣2x2）min， 所以a≤﹣2，故a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]； 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及利用导数研究恒成立问题等基础知识，考查灵活运用基本不等式方法进行探索求值域，属于基础题． 21. 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结. (1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程； (2)若求椭圆离心率e的值. 参考答案：   22. （1）若 ，试求 ； （2）求 展开式中x的奇数次幂的项的系数之和。 参考答案： 解析：　　（1）在已知等式中令x=2得 　① 　　令x=0得 　　　②　　①-②得 　　∴ 　　（2）令 　　令x=1得③　　令x=-1得④ 　　③-④得 ，　∴ ，　即展开式x的奇数次方项的系数之和为41。