2023年江西省鹰潭市第三中学高三数学理联考试卷含解析

2023年江西省鹰潭市第三中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题错误的是  (　 　) A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．若命题，，则“”为： C．“ ”是“”的充分不必要条件 D．若“”为假命题，则均为假命题 命题意图: 考查命题、简易逻辑基础知识，容易题. 参考答案： D 2. 函数在点处的切线方程是 A．   B．      C．    D． 参考答案： C 3. 函数的最大值与最小值之和为（   ）.    A.　　　B.0　　　C.－1　　　D. 参考答案： A 略 4. 设，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 5. 已知函数f（x）=有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4） 参考答案： B 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】按分段函数分类讨论函数值的取值，从而确定a的取值范围． 【解答】解：①当x＞0时， f（x）=x+≥2=4， （当且仅当x=，即x=2时，等号成立）； ②当x≤0时，a＜2x+a≤1+a， ∵函数f（x）=有最小值， ∴a≥4， 故选B． 6. 已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B= (A) ?? (B) {2} (C) {0} (D) {-1} 参考答案： 【知识点】集合运算.   A1 【答案解析】D  解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B. 【思路点拨】化简集合A、B,从而求得. 7. 已知函数的导函数. （I）求函数的最小值和相应的值； （II）若的值. 参考答案： 略 8. 已知向量是与单位向量夹角为的任意向量，则对任意的正实数，的最小值是（    ） A．0    B．   C．   D．1 参考答案： C 略 9. 设，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较；三角函数值的符号． 【分析】首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.5＞30=1，第二个数字=log31＜log3 2＜log33=1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果． 【解答】解：∵在，三个数字中， 第一个数字30.5＞30=1， 第二个数字0=log31＜log3 2＜log33=1 第三个数字cos=﹣＜0 故选A． 【点评】本题考查对数值大小的比较，考查对数函数与指数函数对于底数不同时的单调性不同，比较三个数字与1，0 的关系，对于底数不同的对数或指数一般找一个中间量进行比较大小． 10. 如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是，焦点分别为，延长与交于P点，若为钝角，则此椭圆离心率的取值范围为（    ） A、 B、 C、 D、 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数的图象恰好通过（）个整点，则称为阶整点函数．给出下列函数： ①；②；③；④；⑤. 其中是1阶整点函数的序号有______________.（写出所有满足条件的函数的序号） 参考答案： ①②④. 12. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交     于和两点，，则的实轴长为__________． 参考答案： 4 13. 已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。 参考答案： . 【分析】 由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解． 【详解】设，，则由面积可得ab=4； 由已知，平面，将三棱锥补形为一个长方体， 则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为、、，则球的直径， 则球的表面积为，因， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题． 14. 若实数满足，则的取值范围是____________________. 参考答案： 略 15. 若直线:，则该直线的倾斜角是          . 参考答案： 由得，所以直线的斜率为，所以，即直线的倾斜角为。 16. 双曲线 的渐近线方程为   　；离心率等于　 　． 参考答案： y=； 【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程以及离心率即可． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=； a=1，b=，c=，所以双曲线的离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 17. 非零向量与，对于任意的的最小值的几何意义 为    . 参考答案： 点A到直线的距离 设向量与的夹角为， ， 所以，所以当时，有最小值，此时，所以的最小值的几何意义为点A到直线的距离。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，D是A1C的中点. (Ⅰ)求BD的长； （Ⅱ）求证：平面ABB1⊥平面BDC. 参考答案： 19. （本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解. （其中） 参考答案： 见解析 【考点】导数的综合运用 【试题解析】 解：（Ⅰ） 因为, 所以， 当时，. 令，得， 所以随的变化情况如下表： 极大值 极小值 所以在处取得极大值， 在处取得极小值. 函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为. （Ⅱ）证明： 不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立， 即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为， 令，得. 因为时，所以. 当时，对成立，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为, 所以不等式在区间上无解； 当时，随的变化情况如下表：   ↘ 极小值 ↗   所以函数在区间上的最大值为或. 此时,， 所以 .             综上，当时，关于的不等式在区间上无解. 20. (本小题满分12分) 设的内角所对的边长分别为，且，   ． （Ⅰ）求边长； （Ⅱ）若的面积，求的周长． 参考答案： (I) ；(II) ． 试题分析：(I)由，两式相除，结合正弦定理可求得，又，可得，求得的值，即可求解边长；(II)由（I）知，利用三角形面积公式可求，由余弦定理可求，从而解得三角形的周长的值．   考点：正弦定理与余弦定理． 21. （本小题满分12分） 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值. 参考答案： 解：（1）的分布列为： 0 1 2 3 4 所以。 （2）由，得，即，又，所以 当 时，由，得； 当 时，由，得。 ，或，即为所求。 【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。 【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。 【易错提醒】记错期望和方差的公式，特别是方差的公式。 【备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。 22.  在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2． （I）求C2的方程； （II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|． 参考答案： (Ⅰ)设P(x，y)，则由条件知M(，)．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(α为参数) (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2