2022-2023学年江苏省扬州市李典中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市李典中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设全集为R，集合，则=（   ）     A．    B．    C．    D． 参考答案： A 因为或， 所以=，故选择A。 2. 已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(     ) A． B． C．3 D．5 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离． 【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合 ∴4+b2=9 ∴b2=5 ∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选A． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键． 3. 过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是（   ）    A．                           B．                        C．                        D． 参考答案： A 4. 已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（　　） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小 参考答案： D 解：由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC错，D对． 故选：D． 5. 若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是（　 　） A．且     B．且 C．且 D．且 参考答案： D 6. 函数具有如下性质：，则函数 (　　) A．是奇函数                                                                                                                                                   B．是偶函数             C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 参考答案： B 略 7. 若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．2 参考答案： 8. 已知函数，若存在正实数，使得方程在区间 （1，+）上有三个互不相等的实数根，则的取值范围是  A．      B．     C．      D． 参考答案： D 9. 若直线与函数的图像无公共点，则不等式的解集为（  ） A．         B． C.          D． 参考答案： B 与函数 的图象无公共点，且 ， ，即为 ，结合正切函数图象可得， ，不等式 的解集为 ，故选B.   10. 曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（  ） A．－9    　B．－3    　C．9  　  D．15 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=　　． 参考答案： ﹣3 【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值． 【解答】解：由约束条件作可行域如图， 图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域， 当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域． 由z=2x+4y，得直线方程， 由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小． 联立，得A（3，﹣k﹣3）． ∴zmin=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题． 12. 设，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为           ． 参考答案： 13. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是        ． 参考答案： （﹣2018，﹣2015） 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【专题】函数思想；导数的概念及应用． 【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用导数判断g（x）的单调性， 再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化为g（x+2015）＞g（﹣3）， 利用单调性求出不等式的解集． 【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x）， 其导函数为g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]， ∵x∈（﹣∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0， ∴g（x）＞0， ∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增； 又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化为 （x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3）， 即g（x+2015）＞g（﹣3）， ∴0＞x+2015＞﹣3； 解得﹣2015＞x＞﹣2018， ∴该不等式的解集是为（﹣2018，﹣2015）． 故答案为：（﹣2018，﹣2015）． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目． 14. 数式中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式，则，则，取正值得.用类似方法可得________. 参考答案： 4 【分析】 根据类比的方式，设原式，构造方程，解出的值即可. 【详解】令原式，则，解得：    本题正确结果： 【点睛】本题考查类比推理的应用，关键是能够准确理解已知中的式子的形式，属于基础题. 15. 设单位向量，的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x+y|=1，xy≥0}，都有|x+2y|≤成立，则?的最小值为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】设单位向量，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy≥0，得（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1； 由|x+2y|≤得出[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥， 令t=cosθ，得出1+≥，求不等式的解集即可得?=cosθ的最小值． 【解答】解：设单位向量，的夹角为锐角θ， 由|x+y|=1，xy≥0， 得x2+y2+2xycosθ=1， 即（x+ycosθ）2+（ysinθ）2=1； 又|x+2y|≤， 所以[（x+ycosθ）2+（ysinθ）2][1+]≥（x+2y）2=， 令t=cosθ，则1+≥， 化简得64t2﹣60t+11≤0， 即（16t﹣11）（4t﹣1）≤0， 解得≤t≤， 所以?=cosθ≥， 即?的最小值为． 故答案为：． 16. 已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}的通项公式为___． 参考答案： 【分析】 由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 17. 已知与，若两直线平行，则的值为 参考答案： 答案：  解析： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分分）      已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点． （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值． 参考答案： 解：（Ⅰ） 证明：连结BD交AC于点O，连结EO．                  ……………………1分 O为BD中点，E为PD中点， ∴EO//P                               B．                               ……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC，                 ……………………3分 ∴ PB//平面AE                C．                        （Ⅱ） 证明： PA⊥平面ABC                   D． 平面ABCD， ∴．                                      ……………………4分 又在正方形ABCD中且，   ……………………5分 ∴CD平面PA                D．                                  ……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面．                          ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空 间直角坐标系．                                             ………8分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ．                      ……………9分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）． 设平面AEC的法向量为, , 则  即                        ∴  ∴  令,则．                             ………………11分 ∴,             …………………12分 二面角的正弦值为                      …………………13分 19. 如图，在空间直角坐标系O - xyz中，正四棱锥P - ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别 在PA，BD上，且． （1）求证：MN⊥AD； （2）求MN与平面PAD所成角的正弦值． 参考答案： 由得 考点：向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角.   略 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点． （1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值； （2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和