2022-2023学年湖南省永州市仁和镇仁和中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省永州市仁和镇仁和中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线在点处的切线方程为 A．         B．       C．        D．  参考答案： C 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则等于（    ） A．10         B．       C．5       D． 参考答案： D 本题考查复数的概念与运算.因为,所以,所以.选D. 3. 下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视 图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为,那么这个几何体的表面 积为（   ） A．                   B．                  C．               D． 参考答案： C 试题分析：由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个棱长均为的正三棱锥,故其表面积为,故应选C. 考点：三视图的识读和理解. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数 的两个零点，则（   ） A.          B.           C.          D. 参考答案： B 考点：函数与方程的关系及数形结合的思想． 【易错点晴】本题考查的是以导数的几何意义及函数零点为背景的不等式问题.求解时充分借助题设条件与已知,先运用导数的知识求出函数解析式中的未知数,后依据函数零点的概念建立方程 ,然后借助题设和函数图象的特征确定零点的取值范围,最后运用不等式的性质求出 ,从而求出. 5. 有下列四个命题： ①在空间中，若； ②直角梯形是平面图形； ③{正四棱柱}{直平行六面体}{长方体}； ④在四面体中，，则点在平面内的射影恰为的垂心，其中逆否命题为真命题的个数是 A．1          B．2             C．3                    D．4 参考答案： B 略 6. 已知为虚数单位，，若，则（   ） A．－2         B．0       C．2       D．4 参考答案： B 7. 已知对数函数 f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在区间[2，4]上的最大值与最小值之积为2，则a=（　　） A． B．或 2 C． D．2 参考答案： B 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】当0＜a＜1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，当a＞1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，由此能求出a的值． 【解答】解：∵对数函数 f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在区间[2，4]上的最大值与最小值之积为2， ∴①当0＜a＜1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2， ∴loga2=±1， 当loga2=1时，a=2，（舍）；当loga2=﹣1时，a=． ②当a＞1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2， ∴loga2=±1， 当loga2=1时，a=2；当loga2=﹣1时，a=．（舍） 综上，a的值为或2． 故选：B． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用． 8. 在面积为的内部任取一点，则的面积大于的概率为 A.            B.           C.         D. 参考答案： D 【知识点】几何概型．B4    解析：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE∥BC并且AD：AB=3：4）， 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的（）2=，所以P（A）=． 故选：D． 【思路点拨】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的，P点应位于图中DE的下方，然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案 9. 已知集合，，，则实数的不同取值个数为（   ） A．                 B．          C．           D． 参考答案： B 10. 已知复数，则 等于（     ）     A.            B.               C.         D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =_________． 参考答案： i 【分析】 由结合复数的除法运算求解即可. 【详解】解法一：． 解法二：． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题. 12. 对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则的前n项和是             。 参考答案： 曲线，曲线导数为，所以切线效率为，切点为，所以切线方程为，令得，，即，所以，所以，是以2为首项，为公比的等比数列，所以。 13. 如图，正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为           . 参考答案： 32 略 14. 已知， 是互相垂直的单位向量，若  与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 参考答案： 【分析】 根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1）， 则（，﹣1）， λ（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（）?（λ）λ＝2cos60°， 即λ， 解得λ． 【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 15. 右图是一个算法流程图，则输出的值是          ． 参考答案： 25 略 16. 已知函数在上单调递增，则的取值范围          . 参考答案：   17. 经调查某地若干户家庭的年收入 (万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得        到关于的线性回归直线方程：=0．254+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加l万元.年饮食支出平均增加   __________ 万元． 参考答案： 0.254 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程． 参考答案： 19. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）求函数在上的单调递减区间. 参考答案： （1） 函数的最小正周期为 ， 函数的最大值为 （2）由   得 函数的单调递减区间 又，则在上的单调递减区间为， 略 20. 设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数． （Ⅰ）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性； （Ⅱ）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域； （Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为R上的奇函数，可求得k的值，即可得函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性； （Ⅱ）根据f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用换元法，将函数g（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域； （Ⅲ）根据a=3，将f（3x）≥λ?f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t2+3对t恒成立，利用二次函数的性质，求得t2+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数， ∴f（0）=0，得k=1， ∴f（x）=ax﹣a﹣x， ∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x）， ∴f（x）是R上的奇函数， 设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+）， ∵a＞1，∴ax2＞ax1， ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数； （Ⅱ）∵f（1）=， ∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0， ∴a=2或a=﹣（舍去）， 则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），x∈[﹣1，1]，令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]， 由（1）可知该函数在区间[﹣1，1]上为增函数，则t∈[﹣，]， 则y=h（t）=t2﹣2t+2，t∈[﹣，]， 当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1， ∴g（x）的值域为[1，]， （Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在x∈[1，2]时恒成立 令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则t， 则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），x∈[1，2]恒成立， 即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立， λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=， ∴λ≤，则λ的最大整数为10． 【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题． 21. （本小题满分14分）如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料（点，在直径上，点，在半圆周上），并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）． （1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？ 参考答案： （1）如图，设圆心为O，连结，设， 法一  易得，， 所以矩形的面积为              （） （当且仅当，（）时等号成立），此时 ；                                   法二  设，； 则，， 所以矩形的面积为 ，                    当，即时，（）， 此时 ；                                      （2）设圆柱的底面半径为，体积为， 由得，， 所以，其中，                  由得， 此时，在上单调递增，在上单调递减， 故当时，体积最大为 ， 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大． 22.   （1）用导数证明: 若,则.   （2）若对恒成立，求的最大值与的最小值．   参考答案： 解：（1）设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx > 0 g'(x) = (1/cos2x) - 1 > 0 由     于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 ==> x - sinx     > 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x ∴sinx < x < tanx，x∈(0，π/2)   ………6分 （2）当x>0时，“