人教版必修四数学知识的归纳

01任意角和弧度制1.任意角的概念K概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置O B,则形成了一个角a,点O 是角的顶点,射线OA、OB分别是角a 的始边和终边。R分类1、正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角:如图，Za=450.2、负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;如图，Za=-630.3、零角：如果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。K代数表小X为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角 a”或Na”可以简记作“a”。如果a 是零角，那么a=0.K几何表示H如图所示详解：K概念总结角度正负的记忆：逆正，顺负，不动零。R概念辨析W1、要正确理解正角、负角、零角的概念，既要注意旋转量，也要注意旋转方向。2,表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，因为箭头的方向代表角的正负.相关知识n终边相同的角，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。2.终边相同的角K定义X所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合5=81=*.360*+.无 21,即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和0K几何表示如图所示详解：R概念辨析H(1)相等的角，终边一定相同，终边相同的角不一定相等。(2)k 是整数，a 是任意角，终边相同的角有无数多个，它们相差360。的整数倍。R相关知识H任意角的概念，象限角，坐标轴上的角，任意角与实数集。实例：R正例，如图，-315。、45。、405。的终边都为O A,它们是终边相同的角。K反例如图，45的终边为。A,225的终边为O B,它们不是终边相同的角。3.象限角K定义?把角放在宜角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边放在x轴的正半轴匕 角 的终边落在第几象限就将该角叫做第儿象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 个象限。K代数表示终边在第一象限的角的集合：P I n-360opn-360+90,nGZ终边在第二象限的角的集合：出I n-360o+900Pn-360+180,nZ 终边在第三象限的角的集合：步I n-360+l80Pn-360o+270o,nCZ终边在第四象限的角的集合：p I n-360+270|3n-360o+360%nCZK几何表示H详解：K记忆方法51记忆方法、口诀 概念辨析X如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴非负半轴重合，则不能判断角在哪一象限，也就是说它不能称作象限角。K相关知识X坐标轴上的角实例：K正例X如图，124为第二象限角，210为第三象限角，-45为第四象限角。反例X如图，90 270都不在任何象限，它们都不是象限角。K例题例1、设a为第一象限角，试问2为第几象限角？解：因为a为第一象限角，2jbrz2jbr-f-所以 2.a._KkxV壮 十 一 一所以 2 4 V e Z)a所以当k为偶数时，2在第一象限;a当k为奇数时，2在第三象限,因此，2是第一或第三象限角。例2、设a为第二象限角，试问：-a、n-a,rr+a分别是第几象限的角？解：因为a为第二象限角，所以 2CteZ)2fcjrJTv-2fcr-H 92 乃因为k是整数，所以-a为第三象限角。-2fcjr/r-a-2far+ir所以-a为 第 象 限 角。2A JT+-ra 57.30*sSTlff*弧度制与角度制的换算公式：180a KiT 180a rad=(),n=n(rad)。详解：(记忆方法记住180r=ir rad即可 概念辨析H今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”逋常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角a就表示a是2rad的角。实例：必须熟记的特殊角的弧度制7.弧长公式角度0。30。4560。弧度07T67T4开3角度90180270360弧度穴27T37r227rn A弧长公式：l=aR=,其中a是弧度数，n是角度数。详解:K辨析X注意弧长公式中应用的是圆心角。弧度数的绝对值,且0同6K相关知识扇形的面积公式，角度与弧度之间的转化，弧度制8.扇形的面积公式S=-xie=-lR-2 2 360,其中a是弧度数,n是角度数。详解:K记忆方法扇形面积公式可类比三角形面积公式记忆，/为三角形的底边，r为高。R辨析X注意面积公式中应用的是圆心角a弧度数的绝对值,且闷6K相关知识X弧长公式，角度与弧度之间的转化，弧度制实例:R例题例：已知扇形&的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长。解：设 冠 的长为/,因 为 片2，所以2-ir =2设扇形的圆心角/AOA的弧度数为a,|a卜=4则，由解得=-,.4扇形周长为/+02任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义一1定义X如图，设r是一个任意角，它的终边上任意一点 典”，它与原点的距离是=J/+V 那么角工的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别记作:SIQZ=-coa=一正弦：r.余弦：r .正切：*；余切：seca=C(3 0)正割：x；余割:这六个函数统称为三角函数。ctca=（y 学 0）详解:K概念辨析d n a不是sin与。的乘积，它是一个整体，是一个确定的比值，是三角函数记号，其他五个三角函数也应同样理解。实例：K特例X要熟记的特殊角的三角函数表一：表二:aT V77T47T3sin aJ272苴2cos a出2吏212tan a1 _V3于行175a07T27T3开22TTsin a010-10cos a10-101tan a0无意义0无意义0K例题X例：已知角上的终边经过点求 的:角 函 数 值.解：因为 2 2,所以 4 于是-立 Unz=-2-=-r I 2.tx 5 ico一*.鲍3/3期3nMn3.三角函数值在各象限的符号tan a详解：K记忆方法一全正，二正弦，三正切，四余弦K概念辨析？在第一象限内,所有的三角函数值都为正值;在第二象限内,正弦函数值为正值;在第三象限内,正切函数值为正值;在第四象限内,余弦函数值为正值。K相关知识任意角的三角函数的定义实例:例题X确定下列三角函数值的符号：(1)s i n 1 5 6 ,(2)5(1)0 156 0(2)16JT IOX-6kv=4-,5 5 5野 林 三tIR角，4.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域s in aR-1,1cos aR-1,1tanda|Q W+k兀，2kGZR详解：R 概念辨析X1、确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这关键，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域和值域。2、特别要引起注意的是正切函数的定义域K 相关知识H任意角的三角函数的定义5.同角三角函数的基本关系式K 代数表示1 .平方关系的 。+00。=12 .商数关系COS ina cos a)3=l2naaca i .ia n x4-co x-Z Z T T-COS X.anatma=-(3)弦切转化法：同角正弦与余弦的商可以转化为正切函数式的方法，即 ma如1 4-2&a.K c o c x14-2M IC O S xI疝 3*+2而X M X二 -5 sin x+cos x_(iaxcos j)1=T-i-fin x+cof x_ g _ tan1 x+l(4)一知角的某一三角函数值，可以求其余的三角函数值，即“知一求二”法。在这过程中常常用到“平方关系”:i?a+8.a=l。计算时往往要开平方，要注意根据角所在的象限确定函数值的符号，若角所在象限不确定，则要就角可能所在的象限进行分类讨论。0 3三角函数的诱导公式1.诱导公式成因I 形成rr*+a 加一。一。a任意角二的终边与角 2 的终边具有某种对称关系。角二的终边与角川-a终边关于丫 轴对称，正弦值相等，其余值互为相反数;角二 的终边与角一二终边关于X轴时称，余弦值相等，其余值互为相反数；角二的终边与角*终边关于原点对称，正切值相等，其余值互为相反数:角二的终边与角2 终边关于直线广x对称，互余角的正余弦值相等详解：K概念辨析诱导公式本质上是对称性的应用。R相关知识诱导公式2.诱导公式一K公式X ：sin(2ib r+=sinxcosab r+a)=cosatenQb r+a)=tana 俱 中 辰 Z)详解：K记忆方法),1 符 号 看 象 限 一*+*-皿H 2)_二，.土a的三角函数值等于a的同名函数值，前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号。K相关知识终边相同的角实例：K例题例：利用公式求三角函数cos420。的值；解：cos4200=cos(360+600)=cos60 3.诱导公式二R公式WsiiKX+x)=snacos(斤+=-co atan(x-+dd-tenx.详解：R记忆方法II符号看象限-2M(ke Z)，一二，斤土a的二角函数位等r a 的同名函数值，前面加 上 个 把 a 看成锐角时原函数值的符号。K相关知识 诱导公式成因实例：例题H7一JT例：利用公式求三角函数sin 6 的值；7一 JT解：sin 6=sin(+/O=一丽一6=14.诱导公式三I1公式Xsii-)=-sinaco(-)=cos aten O=_ b n a详 记忆方法1符号看象限一”*上.8&图)，一二，.土a的三角函数值等于。的同名函数值，前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号.K相关知识X 诱导公式成因实例：K例题B1 X 例：利用公式求三角函数sin(6)的值；7-K解：sin(6)_ _ _加7斤了(注释：A M 洵=*)=-iin(4-j0-向H6(注释：C M*+=一.|为)1=5.诱导公式四K公式Xsjn0r-=3inacosC r-a)=casxten(ir-6=-tan x.R记忆方法X符号看象限-，士a的三角函数值等于。的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。K相关知识X诱导公式成因实例:R例题X至例：利用公式求三角函数tan 3的值;解:2tan-ir3=ta n(jr-y)=-tan-36.诱导公式五K公式疝 M g-4=M a详解:土 a（记忆方法X 符 号 看 象 限 一2 的正弦（余弦）函数值，分别等于a 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号。K相关知识诱导公式成因实例：K例题XK例题1n例：已知 sin（二 +?）=-：,计算：cos（2 一二J：解.丁疝!1（灯+为/M T =sinz1=2flner=2,n.二一忍一e1=sinr 27.诱导公式六K公式？1(+=COfAf=一曲。详解:JT.一上a 记忆方法符号看象限2 的正弦(余弦)函数值，分别等于a的余弦(正弦)函数值，前面加上 个 把a看成锐角时原函数值的符号.K相关知识诱导公式成因实例：R例题X1JT例：已知 sin(：+2 )=，计算：sin(2+-)；fu r=sincr1=2二 向 a=L2=cca.naa4-coa =l:.coaa=l-iiiiaa二 cosa=Vl-sinaz-3 a=4-g=/与nl64030,6.正切曲线K形成X用正切线画函数y=tanx,的精确图象：R定义X我们只要将y=tanx,I 2 2的图象向左、向右平行移动（每次兀个单位长度），就得到正切函数的图象如下图所示正切函数的图象叫做正切曲线.详解:R概念辨析工由图可以看出，正切曲线是被相互平行的直线 2 所隔开的无穷多支曲线组成的。K相关知识正切函数的性质7.正切函数的性质K概念辨析Xy =tan 凡 xw tfar-,ib rd)(fcw Z)1.正切函数 2 2 是单调递增函数，但不能说函数在其定义域内是单调递增函数，正切函数无单调减区间。3.判断函数奇偶性时，必须先检验定义域是否关于原点对称，如果是，再验证F G 6是否等于一 穴。或进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必是非奇非偶函数。K相关知识H 正切曲线，正弦函数、余弦函数的性质实例：K例题X例：根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的工的集合：解：根据正切函数的图像如下图:由图可看出要使tan J