2022-2023学年广东省汕头市潮阳陈店中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年广东省汕头市潮阳陈店中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则等于 A．           B．      C．           D． 参考答案： 答案：D 2. 已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为 A. B. C. D. 参考答案： D 分析】 画出图象及直线，借助图象分析。 【详解】如图，当直线位于B点及其上方且位于A点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是。 故选D。 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。   3. 已知平面向量，且∥，则实数的值等于：（    ）     A．或B．C．或D． 参考答案： 答案：C 4. 已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为       A.       B.         C.       D. 参考答案： B 略 5. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是 A.     B.      C. [-2,2]     D. 参考答案： D 根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0）， 由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上， 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）； 则 =（cosθ，sinθ）， 又 + =（2，2）； ∴ ?（ + ）=2cosθ+2sinθ=2 sin（θ+ ）， 当θ+= ，即θ=时， ?（ + ）取得最大值2， 当θ+= ，即θ= 时， ?（ + ）取得最小值﹣2， ∴ ?（ + ）的取值范围是[﹣2，2]． 故选：D．   6. 函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（    ） A．(0,4)         B．(－∞,0)∪(1,4)       C.         D．(0,1)∪(4,+∞) 参考答案： D 根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 由图象可知， 当时，函数的图象在图像的下方，满足； 当时，函数的图象在图像的下方，满足； 所以满足的解集为或，故选D.   7. 在中，，，，则（   ） A．或       B．       C．       D．以上答案都不对 参考答案： C   考点：正弦定理 8. 已知，则方程的根的个数是（  ▲  ）    A．3个         B．4个       C．5个       D．6个 参考答案： C 【知识点】函数与方程B9 由，设f(A)=2,则f(x)=A,则，则A=4或A=，作出f(x)的图像，由数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。 【思路点拨】根据函数的取值范围和数型结合求出图像交点个数即根的个数。 9. 已知函数，若||≥,则的取值范围是（    ） A.    B.    C.   D. 参考答案： D 10. △各角的对应边分别为，满足，则角的范围是 A．  B． C． D． 参考答案： 由得：，化简得： ，同除以得，，即 ，所以，故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的反函数           . 参考答案： 略 12. 已知向量，则在方向上的投影为_______. 参考答案： 2 略 13. 设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=　　． 参考答案： {2，3} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；定义法；集合． 【分析】由A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}， ∴A∩B={2，3}， 故答案为：{2，3} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 14. 在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是                       ． 参考答案： 线段的斜率，中点坐标为。所以线段的垂直平分线的斜率为，所以OA的垂直平分线的方程是y ?，令y = 0得到x =．所以该抛物线的准线方程为. 15. (几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形， 是底边延长线上一点，且，，则腰长=         . 参考答案： 以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设与圆交于点且延长交圆与点，由切割线定理知，即，得，所以 16. 边长是的正内接于体积是的球，则球面上的点到平面的最大距离为             参考答案：      17. 复数，则实数的值是（    ） A．  B．    C．    D．— 参考答案： A 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（2015秋?温州月考）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+，﹣1），⊥，，b=1 （1）求角B的大小 （2）求c的值． 参考答案： 考点： 余弦定理；正弦定理．  专题： 解三角形；平面向量及应用． 分析： （1）由平面向量的应用可得4sinBsin2（+）+cos2B﹣2=0，整理解得，结合范围B∈（0，π）及大边对大角的知识即可解得B的值． （2）由已知及余弦定理即可解得c的值． 解答： 解：（1）∵向量l=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+），﹣1），⊥， ∴，可得：4sinBsin2（+）+cos2B﹣2=0，…（3分） 则，…（5分） 所以，…（6分） 又B∈（0，π），则或…（7分） 又a＞b，所以B=．…（8分） （2）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB…（10分） 得c=2或c=1…（12分） 点评： 本题主要考查了向量垂直的性质，三角函数恒等变换的应用及余弦定理的应用，属于中档题． 19. （本小题满分12分）     调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：O表示不满意，l表示基本满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级：若，则成就感为一级；若2 ，则成就感为二级；若，则成就感为三级，为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：    （I）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？    （II）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标均为4的概率是多少？ 参考答案： （Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表： 人员编号 综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3 1分 由上表可知：成就感为三级（即）的只有一位，其频率为． 3分 用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有． 5分   20. (本题满分12分) 已知球的直径为，求它的内接圆锥体积的最大值,并求出此时圆锥的底面半径和高. 参考答案： 设圆锥的底面半径为 ，高为,则----2分 --------------------5分 ， ，------------7分 ---9分 ，----------------------11分 此时 --------------------------12分 21. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ， 求证面BCE 参考答案： 证法一：如图作交BE于M，作交BC于N连接MN 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB AE=BD   又AP=DQ      PE=QB 又          QN且PM=QN 即四边形PMNQ为平行四边形 又面BCE   面BCE 面BCE 证法二：如图连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK               又           又面       面 面 证法三：如图，在平面ABEF内，过点P作，交AB于M，连接QM 面，且 又                  又         面 又      面面BCE 又面    面 注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行 22. 设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点. （1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值； （2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值； （3）设p=2，l1、l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线交于点A、B，l2与抛物线Γ交于点C、D，若点G满足，求点G的轨迹方程. 参考答案： （1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）当时，代入抛物线方程，求得，可得弦长，解方程可得； （2）求得的坐标，设出过的直线为，，联立抛物线方程，若要使取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值； （3）求得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程 【详解】（1）由可得，可得，解得； （2）是点，关于顶点的对称点，可得，， 设过的直线为，， 联立抛物线方程可得， 由直线和抛物线相切可得△，解得， 可取，可得切线的倾斜角为， 由抛物线的定义可得，而的最小值为， 的最大值为； （3）由，可得，设，，，，，，，，， 设，联立抛物线，可得， 即有，， 由两直线垂直的条件，可将换为，可得 ，， 点满足， 可得，，， 即为①， ②， 联立①②式消元可得， 则的轨迹方程为 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题