2022-2023学年北京百善中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年北京百善中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设i为虚数单位，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 化简题目所给表达式为的形式，由此得出正确选项. 【详解】.故选C. 【点睛】本小题主要考查复数乘法的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 已知全集 集合 集合，则集合为（    ） A．       B．       C．       D． 参考答案： D 3. 设复数为实数，则     A．－2            B．－1           C．1             D．2 参考答案： A 略 4. 己知集合，则满足条件的集合P的个数是（    ）        A．3                            B．4                            C． 7                          D．8 参考答案： D 略 5. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行的第个数，则（      ）   A．          B。           C。         D。                       参考答案： A 略 6. 已知，满足，且的取值范围是，则（　 ）        A．1　　　　　       B．2　　　         C．-1　　　        D．学科-2网 参考答案： D 略 7. “”是“复数是纯虚数”的(     ) A.充分不必要条件                   B.必要不充分条件   C.充要条件                         D.不充分不必要条件 参考答案： B 略 8. 从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆的个数是 A、43              B、72            C、86          D、90 参考答案： 答案：B 9. 函数的图象与函数的图象的交点个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： B 10. 函数的单调递减区间为(       )    A (kπ－,kπ－]       B (kπ－,kπ＋)    C (kπ－,kπ－)     D  [kπ－,kπ＋) 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则___． 参考答案： 1033 12. （3分）（2007?山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是　　． 参考答案： 4 【考点】： 简单线性规划的应用；点到直线的距离公式． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： 首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案． 【解答】： 解：如图可行域为阴影部分， 由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求， 由点到直线的距离公式得： d==4， 则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于 4， 故答案为：4． 【点评】： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化． 13. 右图程序运行结果是  ▲  ．； 参考答案： 14. 下列有关命题中，正确命题的序号是　　． ①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”； ②命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”； ③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题． ④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．” 参考答案： ④ 【考点】四种命题；命题的否定． 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】分别对①②③④进行判断，从而得到结论． 【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”； 故①错误； ②命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1≥0”； 故②错误； ③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是若sinx≠siny，则x≠y，是真命题， 故③错误； ④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”，正确； 故答案为：④． 【点评】本题考察了命题的否定以及命题之间的关系，是一道基础题． 15. 设（为虚数单位），则复数的模为     ▲    参考答案： 5 16. .已知函数定义在上，对任意的， 已知，则                  参考答案： 1 略 17. 是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，若[,1]时，不等式恒成立，则实数的取值范围是          . 参考答案： [-2,0] 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分15分)  已知函数 （Ⅰ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，设函数，若，求证 参考答案： （Ⅰ）………………1分 ，即在上恒成立 设 ，时，单调减，单调增，所以时，有最大值………………3分 ，所以………………5分 （Ⅱ）当时，, ,所以在上是增函数，上是减函数……………6分 因为，所以 即 同理………………8分 所以 又因为当且仅当“”时，取等号………………10分 又，………………12分 所以 所以 所以：………………15分 19. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，. （1）求与； （2）设数列满足，求的前项和. 参考答案： 解（1）设的公差为. 因为所以 解得 或（舍），. 故 ，.           （2）由（1）可知，， 所以. 故 略 20. （本小题满分12分）          中央电视台星光大道某期节目中，有5位实力均等的选手参加比赛，经过四轮比赛决出周冠军（每一轮比赛淘汰l位选手）．      （Ⅰ）甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率；     （Ⅱ）设甲选手参加比赛的轮数为X，求X的分布列及数学期望。 参考答案： 略 21. （2017?广安模拟）已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1． （Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集． （Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=， 当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为?； 当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1； 当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立， 所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）． （Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1； g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2． 而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（ a2+c2+b2+a2+c2+b2 ）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0， 当且仅当a=b=c=时，等号成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）． 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题． 22. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=14，S6=126． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设…+，试求Tn的表达式． 参考答案： 考点：数列的求和；等比数列的性质． 专题：计算题． 分析：（1）根据S3=14，S6=126．可求出a4+a5+a6=112，再利用等比数列各项之间的关系，求出公比q，把S3=a1+a2+a3=14中的每一项用a1和q表示，求出a1，代入等比数列的通项公式即可 （2）由（1）知，==，=，得出数列{}是以为首项，为公比的等比数列．利用公式求解即可． 解答： 解：（1）∵S3=a1+a2+a3=14，S6=a1+a2+…+a6=126 ∴a4+a5+a6=112，∵数列{an}是等比数列， ∴a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3=112 ∴q3=8∴q=2 由a1+2a1+4a1=14得，a1=2， ∴an=a1qn﹣1=2n （2）由（1）知，==，=， 又a1=2，a2=4，所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列． ∴Tn== 点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、前n项和的计算，考查方程思想，转化、计算能力．