北师大版数学九年级上册解答题专题训练50题-含答案

北师大版数学九年级上册解答题专题训练50题含答案 一、解答题 1．如图所示，点，，在同一条直线上，且，点和点在的同侧，且． (1)证明：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出，即可推出结论； （2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法和性质是解题的关键． 2．某人在室内从窗口向外观看（如下图）. （1）在右图中将视点用点标出. （2）在右图中将视线画出. （3）在下图中，画出视角，并测量视角度数. （4）此人若想在此窗口观察室外更多的影物，应该靠近窗口，还是远离窗口？ 【答案】（1）（2）（3）如图所示：（4）应该靠近窗口 【详解】试题分析：两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点，这样得到的投影是中心投影． （1）（2）（3）如图所示： （4）此人若想在此窗口观察室外更多的影物，应该靠近窗口. 考点：中心投影作图 点评：作图能力是学生必须具备的基本能力，因为此类问题在中考中比较常见，一般以作图题形式出现，属于基础题，难度不大. 3．小明在学习了《相似三角形》的知识后做了一次数学实验活动﹣﹣﹣﹣﹣﹣测量学校操场边的大树的高度．他测量出小树AB的高度是6米，小明距离小树的根部的距离EB=8米，小树AB与大树CD根部之间的距离BD是5米，已知小明的身高为1.6米（即EF=1.6米），试计算小明所测得的大树的高度． 【答案】8.75米； 【分析】根据题意可知△AFH∽△CFK，根据相似三角形的性质可求出CK的长度，将其代入CD=CK+EF中即可求出大树的高度． 【详解】根据题意，可知：△AFH∽△CFK， ∴=，即=， ∴CK=7.15， ∴CD=CK+EF=8.75． 答：小明所测得的大树的高度为17米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的性质求出CK的长度是解题的关键． 4．已知关于x的方程． （1）k取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）在（1）的条件下，请你取一个自己喜爱的k值，并求出此时方程的解． 【答案】（1）当时，方程有两个不相等的实数根 （2）k=2时,x=2或x=1. 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可以得到方程根的判别式大于零，从而得到不等式求解即可． （2）从求得的值中找到一个代入求解方程即可． 【详解】(1)由题意知： ∴ ∴当时，方程有两个不相等的实数根 (2)当k=2时,原方程可化为 即：(x−2)(x−1)=0， 或 解得x=2或x=1. 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 5．已知关于的一元二次方程有一个根为1，求的值，并求出方程的另一个根． 【答案】时，方程另一根为；当时，方程另一根为 【分析】先将代入方程求出m的值，再分别代入求根即可． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：或， 当时，方程化为， 即， 解得：x或， 此时方程另一根为； 当时，方程化为， 即， 解得：x或， 此时方程另一根为； 则时，方程另一根为；当时，方程另一根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6． 已知关于的方程，有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）k≤；（2）k=-3 【分析】（1）根据题意，令△≥0即可得出结论； （2）根据韦达定理可得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，然后利用整体代入法即可取出结论． 【详解】解：（1）由题意得△=(2k+1)2-4(k2+2k)≥0， 解得，k≤； （2）由韦达定理得，x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k， ∵ ∴x1x2-[(x1+x2)2-2x1x2]=-16，即-(x1+x2)2+3x1x2=-16， ∴-(2k+1)2+3(k2+2k)=-16， 整理得，k2-2k-15=0， 解得k1=5，k2=-3， ∵k≤， ∴k=-3 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围和利用韦达定理求参数的值，掌握一元二次方程的根的情况与△的关系和韦达定理是解决此题的关键． 7．若是一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】依题意，是方程的根，则可得，然后对进行整体代入代数式中求解即可． 【详解】解：由题可得：是方程的根， ∴； ∴，将其代入代数式中： ∴原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的性质，关键在于构造整体代入的等式． 8．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1=∠2 (1)求证：△ADP∽△BCP； (2)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由∠1=∠2，∠DPA=∠CPB（对顶角相等），即可得证△ADP∽△BCP （2）由△ADP∽△BCP，可得，再证得△APB∽△DPC，从而得，即可得出答案； （1） 证明：∵∠1=∠2，∠DPA=∠CPB ∴△ADP∽△BCP （2） ∵△ADP∽△BCP， ∴， ∵∠APB=∠DPC ∴△APB∽△DPC ∴， 即 ∴AP=6 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 9．已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)当时，求该方程的实数根； (2)若是该方程的一个实数根，求m的值和另一个根． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）代入，利用因式分解法可求出方程的实数根； （2）将代入原方程可求出的值和另一个根． 【详解】（1）解：将代入原方程得 解得 当时，该方程的实数根为 （2）解：将代入原方程得 解得 原方程为 解得 的值为；另一个根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题关键是利用因式分解法求出方程的解，代入的值，求出的值． 10．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（3，2），C（1，0）．解答问题：请按要求对△ABC作如下变换． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； (2)连接AO并延长至A2，使A2O=2AO，连接BO并延长至B2，使B2O=2BO，连接CO并延长至C2，使C2O=2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可． 【详解】(1)如图所示，△A1B1C1即为△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的图形； (2)如图所示，△A2B2C2即为△ABC在位似中心O的异侧位似比为2：1的图形． 【点睛】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 11．（1）；        （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将原方程变形为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1）， 变形，得， ， ， ，； （2）， 变形，得， 因式分解，得， 即， 或， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握公式法、因式分解法等常用方法是解题的关键． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程的两根的差为2，求k的值． 【答案】(1)见解析； (2)1或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知， ， ∴ ， ∴，， ∵若此方程的两根的差为2， ∴或， 解得：或； ∴k的值为1或． 【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式： ． 13．用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】(1) x1=3，x2="2;(2)" . 【详解】试题分析：（1）运用公式法求解即可； （2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解. 试题解析：∵a=2，b=-5，c=3 ∴△=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1＞0 ∴x= 即x1=3，x2=2; (2)移项得： ∴ 即： 解得：. 考点：1.解一元二次方程----公式法；2.解一元二次方程—直接开平方法. 14．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数． 【答案】30° 【详解】试题分析：根据已知及菱形的性质：邻角互补，可求得∠ABC的度数；进而依据菱形的对角线平分一组对角，可得到∠ABD的度数． 解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°．（菱形的邻角互补） ∵菱形的每条对角线平分一组对角， ∴∠ABD=∠ABC=30°． 点评：此题主要考查菱形的性质的理解及运用． 15．按要求解方程： (1)（用配方法） (2)（公式法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用公式法解一元二次方程即可得． （1） 解：， 移项、二次项的系数化为1，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 所以方程的解为． （2） 解：， 方程中的， 则方程根的判别式为， 所以， 所以方程的解为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题关键． 16．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； ②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标． 【答案】（1），B(3，1)；（2）①P(，0)；②M(4，0) 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小； （3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，求得x的值，即可求得M的坐标． 【详解】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3， ∴A（1，3）， 把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3， ∴反比例函数的表达式y＝， 联立，解得：或， 故B（3，1）． （2）①作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小 ∴D（3，﹣1） 设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得， ∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝， ∴P点坐标为（，0）； ②直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大， 令y＝0，则x＝4