数学模型与数学实验

第 一 章MATLAB软件的基本操作1.1 矩阵的建立和基本运算一、实验目的熟悉M AT L AB软件中关于矩阵的建立以及矩阵运算的各种名命令。二、实验内容与要求1 .启动与退出双击M AT L AB图标，进入M AT L AB命令窗口，即可输入命令，开始运算。单击Fi l e菜单中Exi t,或使用M AT L AB的 Exi t 命令退出。2 .数、数组、矩阵的输入(1)数的输入 a=5回车：a=5输入复数2-5 i b=2-5 ib=2 -5 i(2)数组的输入 b=l,3,5,7,9,1 1 b=1 3 5 7 9 1 1 C=1 ：2：11 7TC =1 3 5 7 9 1 1 d=l i n s p ace(l,1 1,6)d=1 3 5 7 9 1 1问题：体会以上输入方法有什么区别和联系。若 b 为在0 2 万（力用p i 表示）之间均匀分布的 2 2 个数据，c=(l.3,2.5,7.6,2,-3),d=(2 3,2 0,1 7,1 4,1 1,8,5,2),b.c、d 各用何种方法输入较简单(3)矩阵的输入 A=2,3,5;1,3,5;6,9,4%行之间要用分号隔开A=2 3 51 3 56 9 43 .矩阵大小的测试和定位 A=3,5,6;2,5,8;3,5,9;3,7,9 A=3 5 62 5 83 5 93 7 9 d=n u m el (A)骄则试定矩阵A的元素数d=1 2 n,m=s i z e(A)%测试 A 的 行(n)列(m)数n =4m =3 i,j=fi n d(A 3)附戈出A中大于3的元素的行列数4.矩阵的块操作 A(2,:)为取出A的第2行的所有元素an s =2 5 8 A(l,3,：)%取出A的第1、3行的所有元素an s2356359A (2：3,1：2)%取出A的2、3行 与1、2列交叉的元素an s =2 53 5 A(l,3,:)=A(3,1,:)%将人的第1行和第3行互换问题：如何将A的2、3列互换？A(2,:)=4%将A的第2行的所有元素用4取代 A(fi n d(A=3)=-3%将A中等于3的所有元素换为-3 A(2,:)=%删除A的第2行 r es h ap e(A,2,6)%返回以A的元素重新构造的2x 6维矩阵3 3 54 3 45 97 469 A(4,5)=3%扩充A的维数，A成为4x 5维矩阵，未定义元素为3注意：表示全部5.矩阵的翻转操作 fl i p u d(A)%A进行上下翻转 fl i p l r(A)%A进行左右翻转 r o t (A)%A逆时针旋转90问题：尝试操作1 0 1 9 0(%2)和 r o t 9 0(A,-2),结果有区别吗？6 .特殊矩阵的产生 A=eye(n)%产生n维单位矩阵 A=o n es(n,m)%产生nx m维1矩阵 A=z er o s(n,m)%产生nx m维。矩阵 A=r an d(n,m)%产生nx m维随机矩阵(元素在0 1之间)7 .数的运算 4+23 4*2 4/2%4 右除2,等于2 4 2%4 左除2,等于0.5 4 3%4 的 3次方 s q r t (4)%4 的算术平方根 exp(3)%e 的三次方，不能输成e 3 l o g(4)%4 的自然对数,l o g l 0(4)是 以 1 0 为底，l o g 2(4)是以2为底8.矩阵的运算 A,%A 的转置 det(A)%A 的行列式，A 必须是方阵 r an k (A)%A 的秩 3*A%常数与矩阵相乘 A+B%A、B 必须是同维矩阵，和 3+A进行比较 A-B%As B 必须是同维矩阵，和 3-A进行比较 A*B 财 口 A.*1 3 进行比较 A/B%(和A./B进行比较)AB%(和A.B进行比较)A 2%A，2相当于A*A(和 A/2 进行比较)三、练习与思考(1)熟悉M AT L AB 的启动和退出(2)自找2 3 个例子，熟悉数和数组的各种运算，以及它们的各种函数值。(3)自找2 3 个例子，熟悉矩阵的加减乘除及其它运算，注意和点运算的区别。(4)输入一个矩阵A,取出A 的第2行 第 1 列的元素；取出A 的 第 1,3,4列的所有元素；让 A 的 第 1 列和第3列互换；删除A 的第2歹 I。(5)产生3 x4的 1 矩阵，产生4 x 2 的随机矩阵，产生4维的单位矩阵。(6)将 A 的第2行元素扩大2倍，再增加3 后作为A 的第3 行元素。41.2多项式和线性方程组的求解一、实验目的学会用M AT L AB软件求解多项式和线性方程组二、实验内容与要求1.多项式的表达方式（1）用降基排列的多项式的数向量表示例1对多项式p =/+2 x 3 5 x +6和s =/+2 x +3,用多项式的系数表示为 p=l,2,0,-5,6 s=l,2,3(2)由根创建多项式 r=l,4,8%已知多项式的根为(1,4,8)p=p o l y(r)P =1 -1 3 4 4 -3 2 p=p o l y 2 s y m(p)%将多项式的向量表示转变为符号形式P =x-3-1 3*x-2+4 4*x-3 22.多项式的加减乘除例2求 例1中多项式p,s的和、差、积、商。p=l,2,0,-5,6 s=0,0,1,2,3 p+s%多项式加法，向量p,s必须同维，s扩维成s=0,0,1,2,3 a n s =121-39 p-s%多项式减法，向量p,s必须同维 c o n v(p,s)%求多项式P和s的乘积，也是向量p,s的卷积问题：向量的除法，除数不能为零，这里s的第一个元素为零，怎么办？5解 决 方 法 有 两 种,当s=0,0,1,2,3 时,输 入 方,r =d e c o n v(p,s(3:5),或 把s仍输为s=l,2,3，则 q,r =d e c o n v(p,s)p=l,2,0,-5,6 ；s=l,2,3 q,r =d e c o n v(p,s)%求多项式p除以s的商q和余项rq =1 0 -30 0 0 1 1 53 .求多项式的根 r=r o o t s(p)%求多项式p的根，即方程p(x)=0的解。p c=c o m p a n (p)%求多项式p的伴随矩阵。例3求多项式p =/+2x+6的根解:p=l,2,6 r=r o o t s(p)4 .多项式的微分和赋值运算 d=p o l y d e r(p)%求多项式p的一阶微分 d=p o l y d e r(p,s)为求多项式P,s乘积的阶微分 q,d =p o l y d e r (p,s)%求多项式p,s商p/s的一阶微分，q为分子，d为分母 y=p o l y v a l(p,a)好卜算x=a时多项式p的值例4求 例1中多项式p的一阶导数，求x=l,3,5时多项式p(x)的值。解：p=l,2,0,-5,6 d=p o l y d e r(p)结果为：d =4 6 0 -5 x=l:2:5%*取3 个值6 y=p o l y v a l (p,x)%计算对应x的多项式p的3个值结果为y =4 1 2 6 8 5 65.非齐次线性方程组求解 X=A b%用矩阵左除法求线性方程组AX二b的解 C=A,b%由系数矩阵A和常数列向量b构成增广矩阵C D=r r e f(C)%将C化成行最简行，则D的最后一列元素就是所求的解例5用矩阵左除法求解 A=2,3,5；3,6,8；6,5,4 b=1 2;3 4;4 3 R=r a n k(A)X=A b结果为：R =3X=0.2 7 5 91 2.3 7 9 3-5.1 3 7 9注意：b是列向量，求解前先检验A是否为满秩方阵解二：用函数r r e f求解 C=A,b D=r r e f(C)结果为：D =1.0 0 0 0000.2 7 5 901.0 0 0 001 2.3 7 9 30 0 1.0 0 0 0 -5.1 3 7 9则D的最后列元素就是所求的解，同解 结果相同76.线性齐次方程组的求解例 6求解方程组的通解：X +2X2+2X3+x4=02玉 +x2-2X3 2X4=0%2 3X4=0解:A=1,2,2,1；2,1,2,-2；1,-1,-4,-3 f o r m a t r a t%指定有理式格式输出 B=n u l l(A,r )/求解空间的有理基B =2 5/3-2 -4/31001注意：f o r m a t r a t是有理格式输出，小数用最接近的分数表示；若输入f o r m a t l o n g 则输出格式是长格式，显 示 1 5 位数；缺省格式是f o r m a t sh o r t(短格式)，显示到小数点后面4位。7.利用矩阵的L U,Q R 和 C h o l e sk y分解求方程组的解(1)L U分解L U分解又称为Ga u ss消去分解，可把任意方阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U 的乘积，即 A=L U,命令L,U=l u(A)可求得L与 U。则方程A X=b变 成 L UX=b所以，X=U(L b)(2)C h o l e sk y 分解若 A为对称正定矩阵，则 C h o l e sk y分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即A =R X R ,其中，R为上三角阵，命令R=c h o l(A)可求得R。则方程A X=b变成R x Rx X=b所以，X=R (R b)(3)Q R 分解对于任何长方矩阵A,都可以进行Q R 分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换8形式，即八=0 七 命 令 Q,R =q r(A)可求得Q,R则方程A X=b变形Q R X=b所以，X=R(Q b)说明：这 3种分解，在求解大型方程组时很有用，其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。例 7用 上 述(1)(3)两种方法求解例5中的线性方程组。解一：L,U=l u(A)L =1/38/2 111/210100U=65407/26002 9/2 1 X=U(L b)AY -8/2 93 5 9/2 9-1 4 9/2 9解二：Q,R k q r(A)Q =-2/7-3 6 1/1 4 6 9-1 4 9 5/1 6 1 4-3/7-3 5 1/4 2 22 7 1/7 6 8-6/71 1 2 7/2 2 6 43 4 1/2 5 7 7R =-7-5 4/7-5 8/790-4625/1428-4130/7010X=R(Qb)X =8/29359/29-149/290-1361/1064三、练习和思考(1)输入任意两个多项式，并进行加减乘除运算，注意它们的结果(2)求上面的两个多项式的根，并进行逆运算(3)求上面的两个多项式的一阶导数，并求x=0:0.2:2对应多项式的值。(4)求解下列线性方程组玉 +*2+3/一%4 2玉 一X3+X4=1x,+工 2+2与+2X4=4x-x2+x3-x4=0%-4X2+2X3=02X2-x3=0 X 1 +2%2=0101.3符号运算一、实验目的学会M A TL A B 符号运算的基本功能二、实验内容与要求1 .字符型变量、符号变量、符号表达式、符号方程的建立用单引号设定字符串变量的方法如下：例 1 a=u+4%定义a为字符型变量a =u+4创建字符型变量有如下两种方法。方法一：用命令s y m()创建单个符号变量、符号表达式、符号方程。例 2 x=sym(m+n+i)%定义x为符号型变量m+n+i y=sym(d*x 2+x-4)y=d*x 2+x-4 e=sym(a*x.2+b*x+c=0)%定义y 为符号表达式%定义e为符号方程a*x 2+b*x+c=0问题：继续输入a(2),x(2),d o R e(a),d o 4 e(x)(命令d o u b le是将符号变量或字符变量转换为数值变量)，找出字符型变量和符号型变量之间的区别和联系。方法二：用命令sym s创建多个符号变量、符号表达式。例 3 sym s a b x y%定义a,。,为符号变量，s=a*x 4+b*c o s(y)-x*y%定义s 为符号表达式11sa