(教案)充分条件、必要条件

充分条件、必要条件 【教材分析】 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。 【教学目标】 1．理解充分条件和必要条件的概念。 2．掌握充分条件和必要条件的判断方法。 3．理解充分必要条件的概念。 4．能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明 【核心素养】 1． 数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念。 2． 逻辑推理：判定推出与不推出，推理充分条件与必要条件的基本形式和规则。 3． 直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件。 4． 数学运算：掌握p、q运算，正确判断推出与不推出的关系。 【教学重点】 1． 掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法。 2． 掌握充要条件的概念和判断方法。 【教学难点】 能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明。 【教学准备】 通过课前导读、身边的例子来了解充分、必要的概念。 【教学过程】 【课前导读】 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ （1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）； （2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年3月4日）； （3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）； （4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）。 本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。 一、充分条件、必要条件 【新课讲授】 我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； （3）如果x>2，那么x>3； （4）如果a>b且c>0，那么ac>bC． 在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作 pq 读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作p？q，读作“p推不出q”。 例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作 两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行； 而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作 x>2⇏x>3． ① “如果p，那么q”也常常记为“如果p，则q”或“若p，则q”， 用类似的方法分析上述例子中的（2）（4），并将它们用符号表示出来. 【尝试与发现】 当pq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p？q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思。 因此，“如果p，那么q”是真命题，pq，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已。 例如，因为“如果x=-y，则x2=y2”是真命题，所以 x=-yx2=y2，x=-y是x2=y2的充分条件，x2=y2是x=-y的必要条件。 再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以 A∩B≠∅ A≠∅ A∩B≠∅是A≠∅的 条件 A≠∅是A∩B≠∅的 条件 【思考与辨析】 有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行”的条件，必要条件就是“有之未必即可，无之则必不行”的条件，你觉得有道理吗？ 【典型例题】 例1判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： （1）p：x∈Z，q：x∈R； （2）p：x是矩形，q：x是正方形。 解（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即pq，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件。 （2）因为矩形不一定是正方形，即p？q，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解。 设A={x|x≥0}，B={x|x>-1}，则不难看出，A是B的子集（如下图所示），即A⊆B． 另一方面，“如果x≥0，那么x>-1”是真命题，也就是说 x≥0x>-1，x≥0是x>-1的充分条件，x>-1是x≥0的必要条件。 一般地，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A⊆B．（如下图所示），那么p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件。 例如，设A={x|x是在北京市出生的人}，B={x|x是在中国出生的人}，则A⊆B，所以“x是在北京市出生的人”可以推出“x是在中国出生的人”。 充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。 例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理。这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数。不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。 而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理。这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等。不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。 例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件： （1）形如y=ax2（a是非零常数）的函数是二次函数； （2）菱形的对角线互相垂直。 解（1）这可以看成一个判定定理，因此“形如y=ax2（a是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的 条件 （2） 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的 件。 【扩展阅读】 自主招生中的充分条件与必要条件 某大学2017年自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖（含）以上者（简记为“满足竞赛条件”，下同），都可以报名参加该校的自主招生考试。根据这一信息，回答下列问题： （1）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗？ （2）已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？ （3）已知两同学不满足竞赛条件，那么丙同学一定不能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗？ 第一个问题，相信大家都能得到正确答案：能，但第二个和第三个问题的答案都是：不一定，你知道为什么吗？ 这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2017年自主招生考试的充分条件，而不是必要条件，但是充分条件可以不止一个。 事实上，全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学2017年的自主招生考试。 生活中还有很多类似的情况。请自行找出更多的例子吧！ 二、 充要条件 我们已经知道，因为x>3x>2，所以x>3是x>2的 条件，又因为x>2⇏x>3，所以x>3不是x>2的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成x>3是x>2的充分不必要条件。 一般地，如果pq且q？p，则称p是q的充分不必要条件， 【尝试与发现】 仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明。 如果p？q且qp，则称p是q的必要不充分条件。例如，x（x-1）=0是x=0的必要不充分条件，如果pq且qp，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），记作pq，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”。 当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。 例如，当x≥0时，有意义；当有意义时，x≥0.因此“x≥0”是“有意义”的充要条件，即x≥0有意义，也可以说成“x≥0与有意义等价”“x≥0当且仅当有意义”。 例3在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件。 解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以 ∠B=∠CAC=AB； 又因为“在三角形中，等边对等角”，所以 AC=AB∠B=∠C． 从而∠B=∠CAC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件。 从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，则p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充要条件。 例如，当A={x|x≤0}，B={x|lxl=-x}时，不难看出A=B，因此x≤0lxl=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的 条件，x≤0与lxl=-x等价，x≤0当且仅当lxl=-x。 另外，充要条件与数学中的定义有关。例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。 注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形。” 需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件之外，还存在p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件的情形，例如，当p：x>0，q：x2>2时就是如此。 【思考与辨析】 结合这里的实例，说明为什么有些数学对象有多种定义。 【教学反思】 本节内容简单，但学生容易混淆，需要梳理辨析充分条件、必要条件的数学定义即可。 6 / 6