2021-2022学年福建省福州市融城中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省福州市融城中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知a为第二象限角，sina＝，则sin2a＝    A．－       B．－          C．             D． 参考答案： A 略 2. 下列函数中，在内有零点且单调递增的是(          ) A．     B．      C．      D． 参考答案： B 3. 已知函数  若 有实数解，则求 的最小值为 A.                       B.                        C.                         D. 1 参考答案： B 4. 函数是上的增函数且，其中是锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）     A.            B.             C.            D.  参考答案： A 试题分析：因为函数是上的增函数，构造函数， 所以也是增函数．而，，． 另一方面，，． 综合可知． 考点：构造法，函数的单调性.   5. 函数对任意都有则等于(     ) A   或           B   或    C           D   或 参考答案： 知识点：三角函数的图象C3 B 解析：因为函数对任意都有所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B. 【思路点拨】抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关键. 6. 数列的首项为3，为等差数列且， 若，则（     ） A．0        B．3       C．8        D．11 参考答案： B 略 7. 已知实数则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件  C、充要条件  D、既不充分也不必要条 参考答案： A 略 8. 若，则不等式的解集为                        （    ） A． B． C． D． 参考答案： B 9. 函数，是（  ） A.最小正周期为的奇函数          B. 最小正周期为的奇函数  C.最小正周期为的偶函数          D. 最小正周期为的偶函数 参考答案： C 略 10. 下列命题中： ①若命题，，则，； ②将的图象沿x轴向右平移个单位，得到的图象对应函数为； ③“”是“”的充分必要条件； ④已知为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆相交. 其中正确的个数是（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 参考答案： C 【分析】 利用特称命题的否定判断①；利用三角函数图象的平移变换法则判断②；利用基本不等式以及充分条件与必要条件的定义判断③；利用直线与圆的位置关系以及点到直线距离公式判断④. 【详解】对于①，若命题，，则，；故①正确； 对于②，将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象对应函数为，故②错误； 对于③，“”是“”的充分必要条件，故③正确； 对于④，因为为圆内异于圆心的一点，则，所以圆心到直线的距离，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C. 【点睛】本题主要考查的知识要点：特称命题的否定，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，三角函数图象的平移变换法则，基本不等式的应用,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为　　． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*）， ∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=． 当n=1时，上式也成立， ∴an=． ∴=2． ∴数列{}的前n项的和Sn= = =． ∴数列{}的前10项的和为． 故答案为：． 12. 已知分别是圆锥曲线和的离心率，设 ，则的取值范围是 ． 参考答案： （-∞，0） 13. 已知△ABC的外接圆圆心为O，，，若（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围是 . 参考答案： 由已知得：                 原式有最小值； 所以 14. 已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=   A．8    B．6    C．6   D．8 参考答案： D 略 15. 若函数的解集是               . 参考答案： 16. 下列说法中正确的个数为　　． ①命题：“若a＜0，则a2≥0”的否命题是“若a≥0，则a2＜0”； ②若复合命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题； ③“三个数a，b，c成等比数列”是“”的充分不必要条件； ④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题． 参考答案： 2 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】探究型；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明． 【分析】写出原命题的否命题，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据等比数列的定义及充要条件的定义，可判断③；根据互为逆否的两个命题，真假性相同，可判断④ 【解答】解：①命题：“若a＜0，则a2≥0”的否命题是“若a≥0，则a2＜0”，故正确； ②若复合命题“p∧q”为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故错误； ③“三个数a，b，c成公比为负的等比数列”时，“”不成立， “=0”时，“三个数a，b，c成等比数列”不成立， 故“三个数a，b，c成等比数列”是“”的即不充分不必要条件，故错误； ④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确． 综上所述，正确的命题个数为2个， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，复合命题，充要条件，难度中档． 17. 已知幂函数的图象过（4，2）点，则=           . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C2与曲线C1关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜π），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程； （Ⅱ）求|AC|?|BC|的取值范围． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程； （II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位置关系得出|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2．将|AC|?|BC|转化为关于k的函数． 【解答】解：（I）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0（0＜y≤1）． ∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）． （II）曲线C2的普通方程为（x+1）2+y2=1（﹣1≤y＜0）， 曲线C3的普通方程为x2+y2=4（0＜y≤2）． 设直线l的方程为y=kx（k＞0）． 则A（，），B（﹣，﹣），C（，）． ∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|， ∴|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2 =﹣=4﹣． 设f（k）=4﹣，则f（k）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（0）=0，， ∴0＜f（k）＜4． 即|AC|?|BC|的取值范围时（0，4）． 19. 本小题满分14分） 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，． （1）当时，解不等式； （2）当时，求正整数ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围． 参考答案： 解 ⑴因为，所以不等式即为， 又因为，所以不等式可化为， 所以不等式的解集为．…………………………4分 ⑵当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解， 所以原方程等价于，令， 因为对于恒成立， 所以在内是单调增函数，……………………………6分[ 又，， ， 所以方程有且只有1个实数根， 在区间 ， 所以整数的值为 1．……………………………………………9分 ⑶， ①  当时，，在上恒成立，当且仅当时 取等号，故符合要求；………………………………………………………11分 ②当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，，不妨设， 因此有极大值又有极小值． 若，因为，所以在内有极值点， 故在上不单调．………………………………………………………12分 若，可知， 因为的图象开口向下，要使在上单调，因为， 必须满足即所以.--------------------------13分 综上可知，的取值范围是．………………………………………14分   略 20. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求 （1）tanA：tanB：tanC的值； （2）求角A的值． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值； （2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得tanA=，解得tanA，分类讨论可求A的值． 【解答】（本题满分为14分） 解：（1）∵， ∴由正弦定理可得：，…2分 ∴tanA=tanB=tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分 （2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA， ∵A+B+C=π， ∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，…8分 解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分 当tanA=0，舍去； 当tanA=1，A=， 当tanA=﹣1，则tanB=﹣2，则A＞，B，矛盾， 综上，A=…14分 21. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式 （2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列．可得=×，解得d，即可得出． （2）==．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】（1）解：设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列． ∴=×，解得： =a1?a9，∴（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0，解得d=1． ∴an=1+n﹣1=n． （2）证明： ==． ∴数列{}的前n项和Tn=+++…++ =＜． ∴Tn＜． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 已知直线l：y=kx+1，圆C：(x-1