2022-2023学年黑龙江省伊春市宜春石市中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年黑龙江省伊春市宜春石市中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于                A．                  B．            C．                  D． 参考答案： A 2. 中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm,正方形边长为1cm，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是     图1                  图2 参考答案： 3. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(     ) A．2+ B．4+ C．2+2 D．5 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE= 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 【解答】解：根据三视图可判断直观图为： OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点， EA=2，EC=EB=1，OA=1， ∴可得AE⊥BC，BC⊥OA， 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE= ∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=． S△BCO=2×=． 故该三棱锥的表面积是2， 故选：C． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质． 4. 已知向量与的夹角为θ，||=2，||=1， =t， =（1﹣t），||在t0时取最小值，当0＜t0＜时，cosθ的取值范围为（　　） A．（﹣，0） B．（﹣，﹣） C．（，1） D．（﹣，） 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由向量的运算求得=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，根据0＜＜，能求出cosθ的取值范围． 【解答】解：由题意得： =2×1×cosθ=2cosθ， ==（1﹣t）﹣t， ∴=（1﹣t）2?+﹣2t（1﹣t）? =（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1， 由二次函数知，当上式取最小值时，， ∵0＜t0＜，∴0＜＜， 解得﹣＜cosθ＜． ∴cosθ的取值范围为（﹣）． 故选：D． 【点评】本题考查向量数量积与向量的夹角，考查二次函数、三角函数、向量、分式不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、运动与方程思想，考查应用意识、创新意识，是中档题． 5. 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为 A.        B.        C.      D. 参考答案： C 6. （5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】： 椭圆的简单性质． 【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解． 解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于， ∴a＞b＞0，a＜2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示： 则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P==， 故选B． 【点评】： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 7. 已知集合，.若A=B，则a的值为（） A.2              B.1                C.－1              D. －2 参考答案： A 因为A=B，所以2∈B，可得a=2. 8. 已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有 (   ) (　　) A．3个　　　　　　B．4个         C．5个 D．2个 参考答案： A 略 9. 如右图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点， N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法 错误的是(     ) A.              B. C.           D. 参考答案： D 10. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）?（+1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】数列递推式． 【分析】由数列递推式得到{+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入bn+1=（n﹣2λ）?2n，由b2＞b1求得实数λ的取值范围，验证满足bn+1=（n﹣2λ）?2n为增函数得答案． 【解答】解：由an+1=得， 则， +1=2（+1） 由a1=1，得+1=2， ∴数列{+1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴+1=2×2n﹣1=2n， 由bn+1=（n﹣2λ）?（+1）=（n﹣2λ）?2n， ∵b1=﹣λ， b2=（1﹣2λ）?2=2﹣4λ， 由b2＞b1，得2﹣4λ＞﹣λ，得λ＜， 此时bn+1=（n﹣2λ）?2n为增函数，满足题意． ∴实数λ的取值范围是（﹣∞，）． 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数为奇函数，则        ． 参考答案： 12. 在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为        。 参考答案： 等边三角形 13. 若函数定义域为R，则的取值范围是________． 参考答案： 14. 已知实数满足约束条件,则的最小值是    . 参考答案： 略 15. 设为虚数单位，则=___． 参考答案： 1 16. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是　   　． 参考答案： 3 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行过程可得： 当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2； 当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3； 当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环． 故输出n值为3． 故答案为：3． 17. 已知函数，若，则实数的取值范围是       . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）． （1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（4分） （2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积．（8分）   参考答案： (1) (2) 解析：解：（1）对于：由，得，进而．   2分 对于：由（为参数），得，即．   4分 （2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距， 6分． 弦长，  8分． 因此以为边的圆的内接矩形面积-------------------------12分   略 19. （本小题满分12分）如图，平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，，P、Q分别为DE、 AB的中点。 （Ⅰ）求证：PQ//平面ACD； （Ⅱ）求几何体B—ADE的体积；   （Ⅲ）求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的正切值。   参考答案： （本小题共12分）*K*s*5*u （Ⅰ）证明：取的中点，连接，易证平面 又……………………  （４分） （Ⅱ）…            （６分） ……………………………  （８分） （Ⅲ）    （10分） ……………………   （12分） 注：用向量法请对应给分. （法2）解：以C为原点，CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz,则A（2，0，0）B（0，2，0）C（0，0，0）D（0，0，1）E（0，2，2）则 设面ADE法向量为 则 可取 即面ADE与面ABC所成的二面角余弦值为 易得面ADE与面ABC所成二面角的正切值为…………… （12分） 略 20. (本小题满分10分)已知函数，求函数，的解析式。 参考答案： =  = 21. 已知椭圆C:的离心率为,长轴长为. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．   参考答案： （II）当时，直线与椭圆交于两点的坐标分别为， 设y轴上一点,满足, 即， ∴解得或（舍）， 则可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.……………………6分 下面证明就是满足条件的定点. 设直线交椭圆于点, . 解法2： ∴ ……………………………10分 整理得， 由对任意k都成立，得 且 解得                         ……………………………11分 所以存在点满足.      ……………………………12分 考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.   略 22. （本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2 的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 参考答案： （Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE， ∵ 二面角D—AB—E为直二面角， ∴ 平面ABCD⊥平面ABE， 又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE， 又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE. （Ⅱ）连接BD交AC于点G，连接FG， ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ BD⊥AC， ∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC， 又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG. ∴ FG⊥AC，∠FGB为二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE， ∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝， 在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝， 在正方形ABCD中，BG＝， 在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝ . 即二面角B—AC—E的正弦值为 . （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，而BF⊥平面ACE，则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为＝ .