等差数列及其前n项和（专题测试）（解析版）高一数学 下册期末考点高效突破 （人教A版）

等差数列及其前n项和（专题测试） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2020•宜昌模拟）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（　　） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【解析】解：现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤， 在细的一端截下1尺，重2斤． 假定该金杖被截成长度相等的20段时，其重量从粗到细构成等差数列． 则等差数列{an}中，S4＝4，S20﹣S16＝2， ∴， 解得，d＝﹣， 则中间两段的重量和为： a10+a11＝2a1+19d＝2×+19×（﹣）＝（斤）． 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2020•大连一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（　　） A．14 B．28 C．36 D．48 【解析】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝12， ∴S8＝＝＝4×12＝48． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形三边长的比的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2020春•静海区校级期中）在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（　　） A．q＝2 B．数列{Sn+2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列B＝{x|x∈A且x﹣2∉A}是公差为2的等差数列 【解析】解：由题设条件知：，解得：或． ∵q为整数，∴，故选项A说法正确； ∵S＝2n+1﹣2，∴Sn+2＝2n+1． ∴，∴数列{Sn+2}是等比数列，故选项B说法正确； 又S8＝29﹣2＝510，故选项C说法正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题． 4．（2020•广州模拟）已知{an}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{an}的公差为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解析】解：∵{an}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7， ∴， 解得a1＝1，d＝2． ∴数列{an}的公差为2． 故选：D． 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2020•兴宁区校级模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S9＝45，a10＝（　　） A．20 B．10 C．44 D．55 【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S9＝45， ∴， 解得a1＝1，d＝1， ∴a10＝1+9＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2020•丹东一模）中国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织（　　） A．5尺 B．6尺 C．7尺 D．8尺 【解析】解：由题意可得，7a1+21d＝28且a1+d+a1+4d+a1+7d＝15， 解可得，a1＝d＝1， ∴a6＝a1+5d＝6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题． 7．（2020•广西模拟）等差数列{an}中，已知a1+a9＝10，则a3+a4+a5+a6+a7＝（　　） A．5 B．10 C．15 D．25 【解析】解：等差数列{an}中，已知a1+a9＝10＝2a5，∴a5＝5， 则a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝25， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 8．（2020•深圳二模）在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知3a8＝5a13，且a1＞0，若Sn取得最大值，则n为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【解析】解：由题意3a8＝5a13， 化简得：3（a1+7d）＝5（a1+12d），又a1＞0， ∴a1＝﹣d，d＜0， ∴Sn＝na1+d＝dn2﹣20dn ∴n＝20为对称轴，即n＝20时，Sn有最大值． 故选：A． 【点睛】本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题． 9．（2019春•武汉期中）已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：依题意，数列{an}、{bn}是等差数列，， 设Sn＝kn（n+2），（k≠0），则Tn＝kn（n+1）， 所以＝＝＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了等差数列的前n项和与二次函数的关系、等差数列的通项与前n项和的关系．属于中档题． 10．（2020•茅箭区校级模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk﹣1＝0，Sk＝5，Sk+1＝12（k≥2），则S2k＝（　　） A．67 B．77 C．60 D．50 【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，若Sk﹣1＝0，Sk＝5，Sk+1＝12（k≥2）， ∴（k﹣1）a1+d＝0，ka1+d＝5，（k+1）a1+d＝12， 化为：k＝，a1＝2d﹣7，代入ka1+d＝5， 解得：k＝5，a1＝﹣3，d＝2， 则S2k＝S10＝10×（﹣3）+×2＝60． 故选：C． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二．填空题（共4小题） 11．（2020•吴兴区校级模拟）已知等差数列{an}满足：a1＞0，a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的两根，数列的前n项和为Sn，于是当Sn最大时，n＝　4　，的取值范围是　（，1）　． 【解析】解：a4，a5是方程x2+mx﹣1＝0（m∈R）的两根， ∴a4+a5＝﹣m，a4•a5＝﹣1＜0， 于是当Sn最大时，则有首项a1大于0，公差d小于0，{an}为递减的等差数列， 所以a4＞0，a5＜0所以n＝4时Sn最大， 即a1+3d＞0，a1+4d＜0，所以﹣3d＜a1＜﹣4d， 所以﹣4＜＜﹣3， ＝＝， 设x＝，﹣4＜x＜﹣3， 所以＝＝＝+， y＝+单调递减，所以y∈（，1）， 所以的取值范围是（，1）． 故答案分别为：4，（，1）． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．（2020•茂名一模）已知数列{an}满足an＞0，且lgan，lgan+1，lgan+2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝　　． 【解析】解：由题意可得，lgan+lgan+2＝2lgan+1， 即，即数列{an}为等比数列， 由等比数列的性质可得，a3a4a6a7＝＝4， ∵an＞0， 则a5＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题． 13．（2019秋•安徽期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为　15.5尺　． 【解析】解：∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}， 冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， ∴， 解得d＝﹣1，a1＝15.5． ∴冬至的日影子长为15.5尺． 故答案为：15.5尺． 【点睛】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2019春•兴宁区校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，a3+a6＝27，设Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤t成立，则实数t的取值范围是　[）　． 【解析】解：设公差为d，由题意得：，联立解得a1＝3，d＝3．∴an＝3+3（n﹣1）＝3n． ∴Sn＝＝． ∴Tn＝＝， ∴Tn+1﹣Tn＝﹣＝， ∴当n≥3时，Tn＞Tn+1，且T1＝1＜T2＝T3＝． ∴Tn的最大值为． 若对于一切正整数n，总有Tn≤t成立，则实数t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三．解答题（共3小题） 15．（2019•西湖区校级模拟）设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，且a1＝1． （Ⅰ）若a1，a2，a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）Sn为数列{an}的前n项和，当q＝2时，令bn＝log2（Sn+1），求证：数列{bn}是等差数列． 【解析】解：（Ⅰ）∵{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，且a1＝1． a1，a2，a3成等差数列， ∴2a2＝a1+a3，∴2q＝1+q2， 解得q＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝1． （Ⅱ）∵Sn为数列{an}的前n项和，当q＝2时， ∴＝2n﹣1， ∵bn＝log2（Sn+1）＝＝n， ∴bn+1﹣bn＝n+1﹣n＝1． ∴数列{bn}是等差数列． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16．（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通项公式； （2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【解析】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d， 若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0， 若a3＝4，则d＝＝﹣2， 则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10， （2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d， 当n＝1时，不等式成立， 当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1， 又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1， 又由a1＞0，则有n≤10， 则有2≤n≤10， 综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}． 【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题． 17．（2020•肥城市模拟）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a12＝a92，S6＝18． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值及对应n的大小． 【解析】解：（1）设{an}的公差为d，且d≠0 由，得a1+4d＝0， 由S6＝18，得， 解得a1＝8，d＝﹣2． ∴{an}的通项公式为an＝10﹣2n，n∈N*． （2）由（1），得＝﹣n2+9n＝． ∵n∈N*， ∴当n＝4或n＝5时，Sn有最大值为20． 【点睛】本题主要考查等差数列的基础知识，考查了方程思想、函数思想的应用，本题属中档题．