北京市顺义区2023届高三一模数学试题 附解析

顺义区2023届高三第一次统练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由集合的交集运算得出答案. 【详解】，， ， 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数对应点的坐标为，则 所以 故选:A 3. 的展开式中的常数项为　　 A. B. C. 6 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】解：二项式展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：D 4. 若等差数列和等比数列满足，则的公差为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，又 又 ， 故选：A 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析给定函数的奇偶性、单调性即可判断作答. 【详解】函数定义域为R，，函数是R上的奇函数， 函数的图象关于y轴对称，选项A，D不满足； 因为函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增，选项C不满足，B满足. 故选：B 6. 若双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案. 【详解】， 由于，所以， 所以， 故选：C 7. 已知，，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得. 【详解】若存在使得， 则， ∴，即， ∴存在使得， ∴“存在使得”是“”的充分条件； 当时，，此时 ∴存在使得， ∴“存在使得”不是“”的必要条件. 综上所述，“存在使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值. 【详解】由题意可得，所以，，所以，， 所以，. 故选：B 9. 在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（ ） A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与都有关 D. 与都无关 【答案】D 【解析】 【分析】根据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的变化而变化，进而得到答案. 【详解】因为为正方体，所以 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值）， 所以（定值）， 则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关. 故选：. 10. 已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得. 【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点， 则，设，， 所以， 所以， 即的最小值为 故选：D. 【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法 一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解； 二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】因为函数 则，解得且 所以函数的定义域为 故答案为: 12. 已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到， 然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可. 【详解】可整理为， 所以圆心为，根据垂径定理可得，， 所以，直线AB的方程为整理得. 故答案为: 13. 若存在使得，则m可取的一个值为_____________． 【答案】（内的任一值均可） 【解析】 【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解. 【详解】因为存在使得， 也即函数有零点，则有，解得：， 所以可取内的任意一个值，取， 故答案为：.（内的任一值均可） 14. 在中，，，，则___________，_____________． 【答案】 ① ## ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；利用余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，，则，故， 由余弦定理可得，即，，解得. 故答案为：；. 15. 如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①计算出，故，得到①正确； ②赋值法得到，，依次类推得到； ③举出反例； ④由在上单调递减，得到，整理变形后相加得到，即，④正确. 【详解】因为， 所以 ， 故，故是优函数，①正确； 因为为优函数，故，即， ，故， 同理可得，……，，②正确； 例如，满足， 即，为优函数，但在上单调递减， 故③错误； 若在上单调递减， 任取，， 则，即， 变形为， 两式相加得：， 因为，所以， 则为优函数，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数的一个零点为． （1）求A和函数的最小正周期； （2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期. （2）若恒成立，即求. 【小问1详解】 的一个零点为 ，即， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 当时有最大值，即 . 若恒成立，即, 所以，故的取值范围为. 17. 为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据： 康复时间 只服用药物A 只服用药物B 7天内康复 360人 160人 8至14天康复 228人 200人 14天内未康复 12人 40人 假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立． （1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率； （2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望： （3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为1 （3）2 【解析】 【分析】（1）结合表格中数据求出概率； （2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望； （3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案. 【小问1详解】 只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人， 故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为； 【小问2详解】 只服用药物A的患者7天内康复的概率为， 只服用药物B的患者7天内康复的概率为， 其中X的可能取值为， ，， ， 则分布列： 0 1 2 数学期望为； 【小问3详解】 只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为， ， 令，即， 解得：，因为，所以. 18. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解. 【小问1详解】 取PA中点F， 连接， 因为E是的中点，F是PA中点， 所以是中位线， 所以平行且等于AD的一半， 因为， 所以平行于， 又， 所以与平行且相等， 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以CE平行于BF， 而平面， 平面， 所以直线∥平面. 【小问2详解】 若选①：平面平面， 取AD中点O， 因为侧面为等边三角形， 所以平面， 易证平面， 以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 所以, 所以， 所以 所以， 所以,, 设平面的一个法向量为， 所以， 令， 解得， 所以，