《走向清华北大》高考总复习 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第四模块三角函数第四模块三角函数第十六讲第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数回归课本回归课本 1.角的概念角的概念角角可可以以看看成成平平面面内内一一条条射射线线绕绕着着端端点点从从一一个个位位置置旋旋转转到到另另一一个个位位置置所所成成的的图图形形旋旋转转开开始始时时的的射射线线OA叫叫做做角角的的始始边边，旋旋转转终终止止时时的的射射线线OB叫叫做做角角的的终终边边，按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转所所形形成成的的角角叫叫做做正正角角，按按顺顺时时针针方方向向旋旋转转所所形形成成的的角角叫叫做做负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个负角若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零零角角2象限角象限角把把角角置置于于直直角角坐坐标标系系中中，使使角角的的顶顶点点与与坐坐标标原原点点重重合合，角角的的始始边边与与x轴轴的的非非负负半半轴轴重重合合那那么么，角角的的终终边边在在第第几几象象限限，我们就说这个角是第几象限角我们就说这个角是第几象限角象限角象限角象限角象限角的集合表示的集合表示第一象限第一象限角角|k k360360k k3603609090，k kZZ第二象限第二象限角角|k k3603609090k k360360180180，k kZZ第三象限第三象限角角|k k360360180180k k360360270270，k kZZ第四象限第四象限角角|k k3603609090k k360360，k kZZ3.象限界角象限界角(即轴线角即轴线角)角角终边位置终边位置角角的集合的集合在在x x轴非负半轴上轴非负半轴上|k k360360，k kZZ在在x x轴非正半轴上轴非正半轴上|k k360360180180，k kZZ在在y y轴非负半轴上轴非负半轴上|k k3603609090，k kZZ在在y y轴非正半轴上轴非正半轴上|k k3603609090，k kZZ在在x x轴上轴上|k k180180，k kZZ在在y y轴上轴上|k k1801809090，k kZZ注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，即为象限界角一个象限，即为象限界角(或轴线角或轴线角)4终边相同的角终边相同的角所所有有与与角角终终边边相相同同的的角角，连连同同角角在在内内，可可构构成成一一个个集集合合S|k360，k Z或或S|2k，k Z，前前者者用角度制表示，后者用角度制表示，后者用弧度制表示用弧度制表示注注意意：(1)终终边边相相同同的的角角不不一一定定相相等等，但但相相等等的的角角的的终终边边一一定定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍(2)一一般般地地，终终边边相相同同的的角角或或通通式式表表达达形形式式不不唯唯一一，如如k18090(k Z)与与k18090(k Z)都都表表示示终终边边在在y轴上的所有角轴上的所有角(3)应注意整数应注意整数k为奇数、偶数的讨论为奇数、偶数的讨论5弧度制弧度制(1)把把长长度度等等于于半半径径长长的的弧弧所所对对的的圆圆心心角角叫叫1弧弧度度的的角角以以弧弧度度作作为为单单位位来来度度量量角角的的单单位位制制，叫叫做做弧弧度度制制，它它的的单单位位符符号是号是rad，读作，读作弧度弧度(2)一一般般地地，正正角角的的弧弧度度数数是是一一个个正正数数，负负角角的的弧弧度度数数是是一一个个负数负数，零角的弧度数是，零角的弧度数是0.6度与弧度的换算关系度与弧度的换算关系周角的周角的 为为1度的角度的角即即 周角周角1，周角周角1rad 3602rad 180=rad,1=rad,1rad 5718.7扇形的半径为扇形的半径为R，弧长为，弧长为l，(02)为圆心角为圆心角弧弧长长lR，即即弧弧长长等等于于该该弧弧所所对对的的圆圆心心角角的的弧弧度度数数乘乘以以半半径径扇形面积扇形面积S lR R2.8在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：，那么：(1)y叫做叫做的的正弦正弦，记作，记作sin，即，即siny；(2)x叫做叫做的的余弦余弦，记作，记作cos，即，即cosx；(3)y,x叫做叫做的的正切正切，记作，记作tan，即，即tan (x0)9利用角利用角终边上任意一点的坐标定义三角函数终边上任意一点的坐标定义三角函数设设直直角角坐坐标标系系中中任任意意大大小小的的角角终终边边上上任任意意一一点点的的坐坐标标为为(x，y)，它它与与原原点点的的距距离离是是r(r0)，那那么么任任意意角角的的三三角角函函数数的的定义：定义：注意：要特别注意三角函数的定义域注意：要特别注意三角函数的定义域10各象限角的三角函数值和符号如图所示各象限角的三角函数值和符号如图所示三角函数正三角函数正值值口口诀诀：全正，全正，正弦，正弦，正切，正切，余弦余弦11终边终边相同的角的同一三角函数的相同的角的同一三角函数的值值相等相等，即，即sin(k2)sincos(k2)cos(其中其中k Z)tan(k2)tan12三角函数线三角函数线图图中中有有向向线线段段MP，OM，AT分分别别表表示示正正弦弦线线、余余弦弦线线和和正正切切线线注意：当角注意：当角的终边与的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角一个点，此时角的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0；当角；当角的终边的终边与与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角角的正切值不存在的正切值不存在考点陪练考点陪练 1.已已知知集集合合A第第一一象象限限角角，B锐锐角角，C小小于于90的的角角，下下列列四四个个命命题题：ABC，AC，CA，ACB，其中正确命，其中正确命题题的个数的个数为为()A0B1C2 D3答案：答案：A2.将分针拨快将分针拨快10分钟分钟,则分针转过的弧度数是则分针转过的弧度数是()答案答案:B答案答案:B4.有下列命题有下列命题:(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等终边相同的角的同名三角函数的值相等;(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等终边不同的角的同名三角函数的值不等;(3)若若sin0,则则是第一是第一 二象限的角二象限的角;(4)若若是第二象限的角是第二象限的角,且且P(x,y)是其终边上一点是其终边上一点,则则cos=其中正确的命题的个数是其中正确的命题的个数是()A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个解析解析:根据任意角三角函数的定义知根据任意角三角函数的定义知(1)正确正确;对对(2),我们可举出反例我们可举出反例对对(3),可指出可指出 ,但但 不是第一不是第一 二象限的角二象限的角;对对(4),因为因为是第二象限的角是第二象限的角,已有已有x0,应是应是cos=.答案答案:A5.若若sin0,则则是是()A.第一象限角第一象限角 B.第二象限角第二象限角C.第三象限角第三象限角 D.第四象限角第四象限角解析解析:sin0,是第一是第一 三象限的角三象限的角.是第三象限的角是第三象限的角.答案答案:C类型一类型一角的集合表示角的集合表示解题准备解题准备:(1)任意角任意角都可以表示成都可以表示成=+k360(0360,k Z).(2)并不是所有角都是某象限角并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限它就不属于任何象限.(3)相等的角终边一定相同相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等,终边相终边相同的角有无数个同的角有无数个,它们相差它们相差360的整数倍的整数倍.(4)注意注意“第一象限角第一象限角”“锐角锐角”“小于小于90的角的角”是范围是范围不同的三类角不同的三类角,需加以区别需加以区别.【典例典例1】(1)如果如果是第三象限角是第三象限角,那么那么-,2的终边落在何处的终边落在何处?(2)写出终边在直线写出终边在直线 上的角的集合上的角的集合;(3)若角若角的终边与的终边与 角的终边相同角的终边相同,求在求在0,2)内终边内终边与与 角的终边相同的角角的终边相同的角.分析分析 利用终边相同的角的集合进行求解利用终边相同的角的集合进行求解.解解 (1)由由是第三象限角得是第三象限角得+2k +2k(k Z)-2k-2k(k Z).即即 +2k-+2k(k Z).-的终边在第二象限的终边在第二象限;由由+2k +2k(k Z)得得2+4k20),当当为多少弧度时为多少弧度时,该扇形有该扇形有最大面积最大面积?当扇形圆心角为当扇形圆心角为2弧度时弧度时,扇形面积有最大值扇形面积有最大值.类型三类型三三角函数的定义三角函数的定义解题准备解题准备:(1)任意角的三角函数值任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关只与角的终边位置有关,而而与终边上的点的位置无关与终边上的点的位置无关;(2)当点当点P的坐标中含字母时的坐标中含字母时,表达表达r时要注意分类讨论思想的应用时要注意分类讨论思想的应用.【典例典例3】已知已知的终边经过点的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求求sin cos tan的值的值.分析分析 根据任意角三角函数的定义根据任意角三角函数的定义,应首先求出点应首先求出点P到原点的到原点的距离距离r,由于含有参数由于含有参数a,要注意分类讨论要注意分类讨论.反思感悟反思感悟 (1)当角当角的终边上点的坐标以参数形式给出时的终边上点的坐标以参数形式给出时,要要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.(2)熟记几组常用的勾股数组熟记几组常用的勾股数组,如如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等等,会给我们解会给我们解题带来很多方便题带来很多方便.(3)若角若角已经给定已经给定,不论点不论点P选择在选择在的终边上的什么位置的终边上的什么位置,角角的三角函数值都是确定的的三角函数值都是确定的;另一方面另一方面,如果角如果角终边上一点坐终边上一点坐标已经确定标已经确定,那么根据三角函数定义那么根据三角函数定义,角角的三角函数值也都的三角函数值也都是确定的是确定的.类型四类型四象限角与三角函数符号问题象限角与三角函数符号问题解题准备解题准备:三角函数的符号如下表三角函数的符号如下表正值口诀正值口诀:全正全正 正弦正弦 正切正切 余弦余弦.【典例典例4】(1)如果点如果点P(sin cos,2cos)位于第三象限位于第三象限,试判断试判断角角的终边所在的象限的终边所在的象限.(2)若若是第二象限角是第二象限角,则则 的符号是什么的符号是什么?分析分析 (1)由点由点P所在的象限所在的象限,知道知道sin cos,2cos的符号的符号,从而从而可求可求sin与与cos的符号的符号.(2)由由是第二象限角是第二象限角,可求可求cos,sin2的范围的范围,进而把进而把cos,sin2看作一个用弧度制的形式表示的角看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限并判断其所在的象限,从而从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定的符号可定.解解 (1)因为点因为点P在第三象限在第三象限,sin cos0且且2cos0,cos0,故故的终边在第二象限的终边在第二象限.(2)因为因为是第二象限角是第二象限角,所以所以cos0,且且-1cos0,即即cos是第四象限角是第四象限角,因此因此sin(cos)0;又又sin2=2sin cos0,所以所以-1sin20.故故 反思感悟反思感悟 此处要正确理解此处要正确理解sin(cos)的含义的含义,sin(cos)中中,是把是把角角的余弦值的余弦值(一个