第22章 二次函数

第二十二章　二次函数 1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义. 2.会用描点法画抛物线,通过图象理解二次函数的性质. 3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题. 4.会用待定系数法求二次函数的解析式. 5.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 6.掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题. 1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力. 2.通过二次函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程. 3.运用二次函数的知识解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识. 4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想. 1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等思想方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯. 3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得运用数学解决实际问题的经验,感受数学模型、数学思想在实际问题中的应用价值. 二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了正比例函数、一次函数之后,又学习了二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间的关系的重要数学模型,二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一,如喷泉水流、抛掷的铅球划过的轨迹等,同时,二次函数的相关性质也是解决有关问题的理论基础,它常与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,它综合了初中所学的函数知识,它在中学数学中起着承上启下的作用.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥着重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题的能力. 本章从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对二次函数的图象和性质的理解和掌握,二次函数的图象和性质是从函数y=ax2出发逐步深入探究的,在探究过程中体现了从特殊到一般、类比、数形结合思想,其中类比思想多处体现,如类比一次函数研究二次函数,而数形结合思想贯穿探究二次函数的图象和性质的始终.对于某些实际问题,力图加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识. 【重点】 1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的解析式. 2.会用描点法画二次函数图象,并从图象中了解二次函数的性质. 3.会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题. 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 5.能运用二次函数知识解决实际问题. 【难点】 1.能够正确运用二次函数的图象及性质解决实际问题. 2.理解二次函数与一元二次方程的关系. 1.注意对实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.在教学中要创设丰富的实际问题的情境,使学生理解二次函数的意义,并能够用二次函数的知识解决实际问题. 2.鼓励学生采用多种方法了解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是二次函数的教学难点,所以可以让学生将自己的想法表达出来,互相学习和借鉴. 3.注重知识之间的联系,帮助学生建立二次函数与其他学过的函数之间的联系. 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数(1课时) 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(1课时) 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2课时) 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2课时) 6课时 22.2二次函数与一元二次方程 1课时 22.3实际问题与二次函数 2课时 22.1　二次函数的图象和性质 1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义. 2.会用描点法画抛物线,通过图象了解二次函数的性质. 3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题. 4.会用待定系数法求二次函数的解析式. 1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力. 2.通过函数的图象探究二次函数的性质,使学 生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程. 1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性. 2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯. 【重点】 1.二次函数图象及其性质. 2.运用二次函数的知识解决实际问题. 【难点】　不同形式的二次函数图象之间的位置关系. 22.1.1　二次函数 1.理解并掌握二次函数的定义. 2.能判断一个给定的函数是否为二次函数. 3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围. 1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程. 2.使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力. 3.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想. 1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣. 2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识. 【重点】 1.理解并掌握二次函数的定义. 2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围. 【难点】　用二次函数表示变量之间的关系. 【教师准备】　多媒体课件(1~3) 【学生准备】　预习教材P28~29. 导入一: 出示喷泉图片: 图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线,这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?这些都将在新的一章中学习. 导入二: 请同学们阅读章前问题,并回答下列问题: 如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么数量关系? 学生思考回答:y=6x2. 【问题】　y是x的函数吗?这个函数是不是我们以前学过的函数? 【师生活动】　复习函数、正比例函数、一次函数的概念. 导入三: 当你走在大街上时,会发现有好多车在奔跑,但你是否想到小汽车的行驶是要限速的?假设小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h )之间的函数关系式为s=1100v2,一辆汽车的速度为100 km/h.在前方80 m处停放着一辆故障车,你能判断此时是否有危险吗? [设计意图]　通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 　[过渡语]　函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解其定义的基础上,研究其图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数. 一、感知二次函数 问题1 【课件1】　(教材问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系? 思路一 教师引导学生思考并回答下列问题. n个球队中,每个队要与其他　　　　个球队各比赛一场,全部比赛共有　　　　 场.  分析题意,题目中的等量关系为　　　　,所列等式为　　　　.  【师生活动】　学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的数学模型. 解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=12n(n-1) ,即m=12n2-12n. 思路二 小组活动,共同探究,思考下列问题. (1)明确题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式? 【师生活动】　小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充. 解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=12n(n-1) ,即m=12n2-12n. 问题2 【课件2】　(教材问题2)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? 思路一 教师引导学生思考并回答下列问题. 这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是　　　　t,再经过一年后的产量是　　　　t.  分析题意,题目中的等量关系为　　　　,所列等式为　　　　.  【师生活动】　学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的模型. 解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2. 思路二 小组活动,共同交流,思考下列问题. (1)明确题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)根据等量关系你能写出函数解析式吗? 【师生活动】　学生通过交流讨论列出函数解析式,教师在巡视过程中及时解决疑难问题. 解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2. [设计意图]　通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 二、二次函数的概念 观察教师板书上的三个函数关系式: (1)y=6x2;　 (2)m=12n2-12n;　 (3)y=20(1+x)2. 【思考】　(1)这三个函数是我们学过的函数吗? (2)这些函数的自变量x的最高次数是多少? (3)你能说出它们的共同特征吗? (4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗? 【师生活动】　学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结. 【课件3】　一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【思考】　(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系? (2)二次项系数a能不能为0?b,c能不能为0?为什么? (3)如何判断一个函数是不是二次函数? (4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系? 【师生活动】　学生独立思考回答问题,教师和学生共同归纳二次函数的特征: ①函数关系式必须是整式. ②自变量的最高次数是2. ③二次项系数不为0. ④函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)中,当a≠0时,y=ax2+bx+