高一寒假讲义6 点、直线、平面之间的位置关系 （教师专用）

高中数学寒假讲义 寒假精练6 点、直线、平面之间的位置关系 典题温故 1．已知，是平面外的两条不同直线，给出下列三个论断： ①； ②； ③． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 【答案】若且，则 【解析】若且，则，，，以及与相交均有可能， ∴①②③， 若且，∵直线是平面外的直线，∴， 若且，根据线面垂直的性质，可知． 2．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线 【答案】B 【解析】连结，因为点为正方形的中心，所以点为的中点， 可知直线，都是平面内的直线，且不平行， 即直线，是相交直线， 设正方形的边长为，则由题意可得：，，，， 平面平面，结合，可得平面， 由线面垂直性质定理求得，由勾股定理计算可得；设中点为，连接，由可知， 结合平面平面可得平面， 由线面垂直性质定理求得，由勾股定理计算可得， 故． 经典集训 一、选择题 1．在四面体中，点、、、分别在直线上，若直线和相交，则它们的交点一定（ ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．都不对 2．下列说法错误的是（ ） A．平面与平面相交，它们只有有限个公共点 B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 C．经过两条相交直线，有且只有一个平面 D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 3．如图，是平行六面体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A．不共面 B．三点共线 C．不共面 D．共面 4．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A．四点不共面 B．四点共面 C．三点共线 D．三点共线 5．以下说法正确的有几个（ ） ①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列个命题： 其中命题正确的个数是（ ） ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，，，则； ④若，，，且，则． A． B． C． D． 7．己知，是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（ ） A．已知，若，则 B．已知，若，则 C．已知，若，则 D．已知，若，则 8．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，有下列命题： ①如果，，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么， 其中正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 二、填空题 9．如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有 对． 10．如图，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，，分别为棱，的中点，则的长为_______． 三、简答题 11．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足． （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：，，三线共点． 12．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，且，且，，分别为，的中点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2），，，四点是否共面?为什么? 13．在四棱锥中，平面，，，，，点在上． （1）求证：平面； （2）当平面时，求的值． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A 【解析】直线和相交，设交点为， ∵平面，平面，∴平面，且平面， ∵平面平面，∴，∴与的交点在直线上． 故选A． 2．【答案】A 【解析】A．平面与平面相交，它们只有有限个公共点，平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点．A错误； B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面，B正确； C．经过两条相交直线，有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面，C正确； D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合不共线的三点确定一个平面，D正确， 故答案选A． 3．【答案】B 【解析】如图所示：连接， 因为平面，平面，所以是平面与平面的交线； 又因为直线交平面于点，所以，所以三点共线，则B正确； 因为平面，所以共面，故A错误，同理可知C错误； 显然不是中点，所以不共面，故D错误，故选B． 4．【答案】D 【解析】因为，，，故四点都在平面内， 由可知平面，所以四点不共面， 直线交平面于点，故三点不共线， 易知平面平面， 又，结合公理一，可知，故三点共线． 5．【答案】B 【解析】①错误，如空间四边形确定一个三棱锥． ②错误，直线可能和平面相交． ③正确，根据公理二可判断③正确． ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行． 综上所述，正确的说法有个，故选B． 6．【答案】B 【解析】对于命题①，当，且，则，命题①正确； 对于命题②，当，且，则或，命题②错误； 对于命题③，当，，时，或、、三条直线交于一点，命题③错误； 对于命题④，∵，∴，∵，，由直线与平面平行的性质定理可得，同理可得，由平行关系的传递性可知，命题④正确． 因此，正确的命题为①④．故选B． 7．【答案】D 【解析】A．一条直线与一个平面平行，直线的方向无法确定，所以不一定正确； B．一条直线与平面内两条相交直线垂直，则直线垂直于平面，无法表示直线垂直于平面内两条相交直线，所以不一定正确； C．直线有可能在平面内，所以不一定正确； D．，则直线与的方向相同，，则，正确，故选D． 8．【答案】B 【解析】对于①如果，，，根据线面垂直与线面平行性质可知或或，所以①错误； 对于②如果，，根据直线与平面垂直的性质可知，所以②正确； 对于③如果，，根据直线与平面平行的判定可知，所以③正确； 对于④如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等，当两个平面相交时，若三个点分布在平面的两侧，也可以满足条件，所以错误，所以④错误， 综上可知，正确的为②③． 二、填空题 9．【答案】3 【解析】由图可知，每条棱与对棱互为异面直线，则共有3对． 10．【答案】 【解析】取的中点，连接，， 因为，分别为棱，的中点， 所以，，， 又在正棱柱中，侧棱与底面垂直，所以可得：平面， 则在中， ． 三、简答题 11．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意，，分别为，的中点，所以， 又由，根据平行线段成比例，可得， 所以，所以四点，，，在同一平面内，即，，，四点共面． （2）由题意，，分别为，的中点，所以，且， 假设直线和交于点，即， 因为平面，可得点平面， 同理可得平面， 又因为平面平面，即点直线， 所以直线，，三线共点． 12．【答案】（1）证明见解析；（2），，，四点共面，理由见解析． 【解析】（1）由题意知，，，所以且， 又且，故且， 所以四边形是平行四边形． （2），，，四点共面， 由且，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以， 又由（1）得且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，共面， 又在直线上，所以、、、四点共面． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）过作于，则，所以， 即， 又平面，平面，所以， 因为，所以平面． （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 则，而，所以． 更多微信扫上方二维码码获取