第六章第一节等差数列、等比数列的概念及求和

11第六章 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和(2 0 10年6月最新更新)第六章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和第 一 部 分 三年高考体题荟萃2 0 10 年高考题一、选择题1.(2 0 10 浙 江 理)(3)设 S n 为 等 比 数 列 an的前n项和，8 a 2 a 5 0,则(A)11(B)5(C)8 (D)11解析：通 过 8 a 2 a 5 0,设公比为q,将该式转化为8 a 2 a 2 q 3 0,解 得 q=-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题a 3 a 4 a 5 12,2.(2 0 10 全国卷2理)(4).如 果 等 差 数 列 an中，那么a l a 2 .a 7S 5S 2(A)14 (B)2 1(C)2 8 (D)35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】a 3 a 4 a 5 3 a 4 12,a 4 4,a l a 2 a 77(a l a 7)27a 4 2 83.(2 0 10 辽 宁 文)(3)设 S n 为 等 比 数 列 an的前n项和，已知3 s 3 a 4 2,3 S 2 a 3 2,则公比q (A)3【答案】B解析：选 B.两式相减得，3 a 3 a 4 a 3,a 4 4 a 3,qa 4 a 34.(B)4 (C)5(D)6S n 为其前n 项和。4.(2 0 10 辽 宁 理)(6)设 a n 是有正数组成的等比数列，已知a 2 a 4=1,S 3 7,贝 ij S 5(A)【答案】B1152(B)3 14(03 3 4(D)172【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由 a 2 a 4=1可得a l 2 q 4 1,因此a ll q2,又因为S 3 a l (1 q q 2)7,联力两式15有(l q3)(Iq2)0,所 以 q：124(1)，所 以 S 513 1412,故选B。5.(2 0 10 全国卷2文)(6)如 果 等 差 数 列 an中，a 3+a 4+a 5=12,那么a l+a 2+,+a 7=(A)14 (B)2 1(C)2 8 (D)35【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。a l a 2 a 7127(a l a 7)7a 4 2 8a 3 a 4 a 5 12，a 4 426.(2 0 10 安 徽 文)(5)设数列 a n 的前n项 和 S n n,则 a 8 的值为(A)15(B)16(C)4 9(D)6 4【答案】A【解析】a 8 S 8 S 7 64 4 9 15.【方法技巧】直接根据a n S n S n 1 (n 2)即可得出结论.7.(2 0 10 浙 江 文)(5)设 s n 为等比数列 a n 的前n项和，8 a 2 a 5 0 则(A)-l l (C)5(B)-8 (D)l lS 5S 23解析：通 过 8 a 2 a 5 0,设公比为q,将该式转化为8 a 2 a 2 q 0,解得q=-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公 式 8.(2 0 10 重 庆 理)(1)在 等 比 数 列 an中，a 2 0 10 8 a 2 0 0 7,则公比q的 值 为 A.2 B.3 C.4 D.8【答案】A 2解析：a 2 0 10 a 2 0 0 7q 8 q 239.(2 0 10 广东理)4.已知 a n 为等比数列，S n 是它的前n项和。若 a 2 a 3 2 al,且a4与 2 a 7 的等差中项为54,则 S 5=A.3 5 B.3 3 C.3 1 D.29【答案】C解析：设 a n 的公比为q,则由等比数列的性质知，a 2 a 3 a l a 4 2 a l,即 a 4 2。由 a 4 与 2 a 7 的等差中项为A q 3a 7a 41854知，a 4 2 a 7 212354,即a71812(254a4)12(2542)14，即q.a4 alq al 2,H P al 16.10.（2010广东文）4.已知数列瓦 为等比数列，S”是它的前 项和.若%.%=况且为与2,.的 等差中项为:，则&=A.35 B.33 C.31 D.29解：a2-as=axq qg2=2al=a4=2a+2qq*=2 x 2+4q=q=-t=-；-=164 2 2 q2网-1）1故：S5=-L=32（1-2）=3 2-1=3 1,选C1-1 3211.（2 0 10 山东理）312.（2 0 10 重庆文）（2）在 等 差 数 列 an中，a l a 9 10,则 a 5 的 值 为（A）5（B）6（C）8 （D）1 0【答案】A解析：由角标性质得a l a 9 2 a 5,所 以 a 5=5二、填空题1.（2 0 10 辽宁文）（14）设 S n 为等差数列 a n 的前n项和，若 S 3 3,S 6 2 4,则a 93 2S 3 a d 3 3 1 a 1 2解析：填 1 5.，解得 1,a 9 a l 8 d 15.6 5d 2 S 6 ad 2 4 6122.（2 0 10 福建理）11.在 等 比 数 列 an中，若公比q=4,且 前 3 项之和等于2 1,则该数列的通项公式a n .【答案】4 n T【解析】由题意知a l 4 a 1 16a l 2 1,解得a l 1,所以通项a n 4n-l,【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。3.（2 0 10 江苏卷）8、函数y=x 2（x 0）的图像在点（a k,a k 2）处的切线与x 轴交点的横坐标 为 a k+l,k 为正整数，a l=16,则 al+a3+a5=解析：考查函数的切线方程、数列的通项。（9）设%是等比数列，则 生 生”是数列&是递增数列的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条化【答案】C【解析】若已知a i l,且a/0,所以数列 aj是递增数列；反之，若数列 aj是递增数列，则 公 比 q l 且 a 1 0,所以aaa2,即 a i a 2 a 3，所以a 1a?S n,得6n 12 5n l o g 562 2 51 14.9,最小正整数n 15.2.（2 0 10 陕西文）16.（本小题满分12 分）已知 a n 是公差不为零的等差数列，a l =l,且 a l,a 3,a 9成 等 比 数 列.（I ）求数列 a n 的通项；（I I ）求数列 2 a n 的前n项 和 S n.解（I ）由题设知公差d WO,由 a l =l,a l,a 3,a 9成等比数列得1 2 dl1 8 dl 2 d解得 d=l,d=0 （舍去），故 a n 的通项 a n=l+（n 1）X l=n.（I I）由（I ）知 2am二 2,由等比数列前n项和公式得nnS m=2+2+2+,+2=2 3 n2（1 2）1 2=2-2.n+13.(2 0 10 全国卷2文)(1 8)(本小题满分12 分)已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且 5a l a 2 2(l a il a 2),a 3 a 4 a 5 64(l a 3l a 4l a 5)(I )求 a n 的通项公式；(I I )设 b n (a nl a n),求数列 b n 的前n 项 和 T n。2【解析】本题考查了数列通项、前 n项和及方程与方程组的基础知识。根据条件列出关于a l与 d 的方程求得(1)设出公比a l与 d,可求得数列的通项公式。(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出B N 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.(2 0 10 江西理)22.(本小题满分14 分)证明以下命题：(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b c),使 得 a 2,b 2,c 2 成等差数列。2 2 2(2)存 在 无 穷 多 个 互 不 相 似 的 三 角 形 其 边 长 a n,b n,c n 为正整数且a n,b n,c n成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。(1)考虑到结构要 证 a 2 c 2 2 b 2,；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值1 2,5 2,7 2 满足等差数列，只需取b=5 a,c=7 a,对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。2 2 2 2 2 2 2证明：当 a n,b n,c n 成等差数列，则 b n a n c n b n,分解得：(b n a n)(b n a n)(c n b n)(c n b n)选取关于n的一个多项式，4 n(n 1)做两种途径的分解4 n(n 1)(2 n 2)(2 n 2 n)(2 n 2 n)(2 n 2)4 n(n 1)22222 6a n n 2 2 n 1对比目标式，构 造 b n n 2 l(n 4),由第一问结论得，等差数列成立,c n 2 2 n 1 n考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m 2 m 12n 2 n 122m,n,2m,n相似：则三边对应成比例m 12n 1minim 2 m 1，2n 2 n lm In 1m n,与约定不同的值矛盾，故互不相似。由比例的性质得：5.（2 0 1 0 安徽文）（2 1）（本小题满分1 3分）设 C1,C2,C n,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线3y对每一个正整数n,圆 C n 都与圆Cn 1 相 互 x相切，外切，以 r n 表示C n 的半径，已知 r n 为递增数列.（I ）证明：r n 为等比数列；（H）设 r l 1,求数列 的前n 项和.r n n【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设 C n 的圆心为（n,0）,得n 2 r n,同理得n 1 2 r n 1,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 r n 中 r n 1与 r n 的关系，证明 r n 为等比数列；（2）利 用（1）的结论求 r n 的通项公式，代入数列然后用错位相减法求和.n r n7解：（1）将直线产3x 的倾斜角记为，则 有 tan=rn123sin12设 C n 的圆心为（n,0）,则由题意得知n，得n 2rn；同理n+1 2rn+l,从而 n+1 n rn rn+1 2rn+l,将 n 2rn 代入，解得rn+1 3rn 故 rn为公比q 3 的等比数列。n 1（）由于 rn 1,q 3,故 rn 3 记 SnIrl2r21,从而nrnn*31 n.3*32nrn，则有1 nSn 1 2*3Sn32Sn31*312.n*32*3.(n 1)*31 nn*3n ，得1 3n1323 321 nn*332)*3n1 32 3nn*3n(n ,S n9 41 2(n32)*31 n9 (2 n 3)*341 n【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项a n 与 a n 1 之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n 项 和 S n 乘以公比，然后错位相减解决.6.（2 0 1 0 重庆文）（1 6）（本小题满分1 3分，（I）小问6分，（H）小问7分.）已 知 an是首项为1 9,公差为-2 的等差数列，S n 为an的前n项和.（I ）求通项a n 及 S n；（II）设b n an是首项为1,公比为3 的等比数列，求 数 列 bn的通项公式及其前 n项和T