人教版数学八上拔高讲义

尺规作图（讲义）一、知识点睛1 .基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的角平分线.书写作法时注意：，.2 .应用作图：，设计作图方案；调用 完成图形.二、精讲精练1 .作一条线段等于已知线段.己知：如图，线段a.I_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I求作：线段A B,使a作法：（1）作射线A P；（2）以 为圆心，为半径作弧，交射线AP 于点B._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 即为所求.2 .已知线段a,b C a b）,作一条线段，使它等于2 a-4ah3.作一个角等于已知角.已知：如图，ZABC.求作：Z D E F,使 NDEF=NABC.作法：（1）作射线E R（2）以 为圆心，为半径作弧，交8 4于点M,交B C 于点N；（3）以为圆心，为半径作弧，交E F 于点、P；（4）,作弧，交前弧于点0；（5）作射线ZDEF.证明：连接,.在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 和 中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（已作）”、或“=”)(4)已知：在 A B C中，C E 平分N A C B 交A B 于E,过点E作 E 0 A C交 8C 于。，过。作。/C E交 A8于尸，则Z E D F和Z B D F的数量关系是.(5)已知：在A B C 中，Z A=8 0,AB=AC,BD 平分ZABC 交A C 于点。，C E L B O 交8。延长线于点E,则N E CD=.(6)若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为4 0。，则此等腰三角形的顶角为.【参考答案】一、知识点睛1 .点线取名称，作弧说心径2 .画出草图基本作图二、精讲精练1 .点A 。长 线段4?图略2 .略3 .作法：(1)作射线E R(2)以 点8为圆心,任意长为半径作弧,交8 4 于点M,交 BC于点N；(3)以点E为 圆 心,长为半径作弧,交E F 于点P；(4)以点P 为圆心,MN长为半径作弧,交前弧于点。；(5)作射线E D.即为所求.证明：连接MM D P.在B M/V 和 )/中B M =E (已作)=90+-Z A.2AA;证明：如图，设 NDBC=a,NDCB=8BC.8D 平分 NA8C()/.ZABC=2ZDBC=2a().CD 平分N4C8()XACB=()V ZABC+ZACB+ZA=130()A 2a+26+ZA=130(等量代换)/.a+6=(等式性质)V ZDBC+ZDCB+ZD=180()()/.a+6=()90-ZA=180-Zr(等量代换)2A ZZ)=90+-Z A (等式性质)6 .已知：如图，A B/DE,Z1=ZA C B,A C平分N 8 AD.求证：A D/B C.7 .已知：如图，在a A BC中，A D平分N 8 AC,E F L/W于点P,交B C延长线于点M.已知 N AC 8=70。，Z B=4 0,求NM 的度数.【参 考答案】1.2.3.4.5.6.6 0 2 70 BA已知角平分线的定义已知2 Z DC B,2 0；角平分线的定义三角形的内角和是1 8 0 90 Z A2三角形的内角和是1 8 0 a+6+N D=1 8 0,等量代换1 8 0-Z D,等式性质证明：如图，,8 1 1 DE/.Z 1=Z B A C：A C 平分N B A DZ DA C=N B A CZ 1=Z DA C-：Z 1=Z A C B（已知）（两直线平行，同位角相等）（已知）（角平分线的定义）（等量代换）（已知）Z DA C=N A C B（等量代换）.A DW B C（内错角相等，两直线平行）7.解：如图，在 ABC 中,N ACB=70。，Z 8=40（已知）Z 8AC=180-N A C B N B=180-70-40=70（三角形的内角和是180。）A D 平分N B A CZ DA C=-B A C=-X70=35Q（角平分线的定义）22EF.LA D（已知）ZA PF=90（垂直的定义）Z A FP=900-ZDA C=90-35=55（直角三角形两锐角互余）Y N C FM=A FP（对顶角相等）Z C FM=55（等量代换）rN A C B是 C F M的一个外角（外角的定义）Z M=Z A C B N C FM=70-55=15（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）与角有关的辅助线（讲义）一、知识点睛1.为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助 线 通 常 画 成.2.辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立 和之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况.3.辅助线的作用：;.4.添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试.二、精讲精练1.如图，A B/C D,ZE=27,Z C=52,则NEAB 的度数为.求证：A B/C D.E3.已知：如图，直线 M/VGH,ZABC=130,NHDC=40。.你认为AB上M N吗?请说明理由.C4.已知：如图，AB/CD,E,F分别是AB,CD上的点.求证：ZEPF=ZAEP+ZCFP.5.如图，h/h,N 1=105,Z 2=4 0,则/3=23126.己知：如图，AB/EF,7.己知：如图，AB/ED,a=ZA+ZE,6=ZB+ZC+ZD.样的数量关系？并说明理由.请问6和a之间有怎8.已知:求证:如图，CD/EF,Z1+Z2=ZABC.AB/GF.9.已知:求证:如图，在四边形480C中.ZBDC=ZA+ZB+ZC.ABDC三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1 .虚线；2 .已知，未知3 .把分散的条件转为集中把复杂的图形转化为基本图形二、精讲精练证明：如图，延长D C到点G.C DC E（已知），N E C G=9 0。（垂直的定义）V ZA C E=136（已知），ZA C G=ZA C E-ZEC G=1 3 6-9 0=4 6。（等式性质）./8 A F=4 6。（已知）.,.N A C G=N 8 A F （等量代换）.4 B C D（同位角相等，两直线平行）3.AVZHDC=40（已知）N HDC=N B DF（对顶角相等）：.ZB DF=40（等量代换）NA8D是8FD的一个外角（外角的定义）.N480=NBFD+NB0F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）V ZA B C=130（已知）：.ZB FD=ZA B D-ZB DF=130-40=90。（等式性质）V M N/GH（已知）:.N A EN=N B FD=90（两直线平行，同位角相等）AM N 1 A B（垂直的定义）证明：如图，过点P作/V7N 八8.：C D/A B（已知）：.A B/M N/C D（平行于同一直线的两直线平行）/.Z 1=Z 2 （两直线平行，内错角相等）Z3=Z 4（两直线平行，内错角相等），NEPF=N2+N4=Z1+Z 3（等量代换）ZEPF=ZA EP+ZC FP5.1156.457.解:6=2a,理由如下：如图，过点C作MN/W.A B/ED（已知）A M N/A B/ED（平行于同一直线的两直线平行）.Zl+ZD=180Z2+ZB=180NA+NE=180。（两直线平行，同旁内角互补）a=ZA+ZE,6=NB+NC+/D（已知）：.a=180,6=360（等式性质）/.6=2a（等式性质）8.证明：如图，延长CB交FG于点M,延长FE交CM于点M C D/EF（已知）.N2=NFMW（两直线平行，同位角相等）.N8MG是F/V7N的一个外角（外角的定义）：.ZB M G=Z1+ZFN M=N1+N2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）V Z/BC=Z1+Z2（已知）：.ZB M G=ZA B C（等量代换），A8GF（同位角相等，两直线平行）证明：如图，延长8D交八C于点E.YN 80C是CDE的一个外角（外角的定义）.,.ZBDC=Z1+ZC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）N1是A8E的一个外角（外角的定义）：.Z1=ZA+ZB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）：.ZB DC=ZA+ZB+ZC（等量代换）与角有关的辅助线（随堂测试）1 0.如图，八8L E F于点O,8。与M/V相交于点C,Zl=35,ZB=125,你认为直线EFM N吗？请说明理由.CD1 1.如图，A B/C D,Z a=1 5 0,Z 6=8 0,求Ny 的度数.【参考答案】1.解：EF/M N理由如下：如图，延长48交M/V于点G.TN 1=3 5。（已知）：.ZB C G=35（对顶角相等）.N 4 8 C是a BCG的一个外角（外角的定义）A ZA B C=ZB GC+ZB C G（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）V ZA B C=125（已知），N B GC=/A B C-N B C G=1 2 5 3 5=9 0。（等式性质）A B EF（己知）.N 4 9 F=9 0。（垂直的定义）/.ZA O F=ZB GC（等量代换）：.EF/M N（同位角相等，两直线平行）A解：如图，过点E作E F A 8.,：A B/C D（已知）.8 八8 E F （平行于同一直线的两直线平行），N a+N八E F=1 8 0。（两直线平行，同旁内角互补）N片N D E F （两直线平行，内错角相等）V Z a=1 5 0 （已知）/.ZA EF=3Q （等式性质）V Z 6=8 0 （已知）N D E F=5 0。（等式性质），/片5 0。（等量代换）与角有关的辅助线（作业）例：已知：如图，Z B F D=Z B+Z D.求证：A B/C D.读题标注:梳理思路：要证4 8 8,我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角.观察图形发现,A B,C D没有截线，故需要构造截线，然后证明.可尝试延长8 交（：。于点G.过程书写：证明：如图，延长8 E交C D于点G.,：A B E D是ADEG的一个外角:./B ED=N DGE+N DZB ED=ZB+ZD：.ZDGE=ZB：.AB/CD12.已知：如图，ab,贝 Ij/1+N2-N3=13.已知：如图，ZB+Z+ZD=360.求证：AB/CD.14.已知：如图，AB/CD,Z1=Z2.求证：Z3=Z4.ECD15.已知:求证:如图，A B/C D.Zl+Z3-Z2=180.16.己知:求证:如图，Z3=Z1+Z2.N A+Z B+Z C+Z D=180.【参 考答案】1.1 8 0 证明：如图，过点E作E F A 8 .N 8+N 8 E F=1 8 0。（两直线平行，同旁内角互补）：ZB+ZB ED+ZD=360（已知），N F E O+N O=1 8 0。（等式性质）：.EF/C D（同旁内角互补，两直线平行）：.A B/C D（平行于同一条直线的两条直线互相平行）证明：如图，延长8 E交C。于点G.：A B/C D（已知）.-.Z 1=Z 5 （两直线平行，内错角相等）V Z 1=Z 2 （已知）A Z 2=Z 5 （等量代换），8 G C F （同位角相等，两直线平行）/.Z 3=Z 4 （两直线平行，内错角相等）证明：如图，延长E A交 8 于点F.,:A B C D（已知）.N 1=N 4 （两直线平行，同位角相等）.N 4是a C E F的一个外角（外角的定义）.N4=N2+NECF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）V ZECF=180-Z3（平角的定义）/.Z4=Z2+180-Z3（等量代换）/.Z4+Z3-Z2=180（等式性质）A Zl+Z3-Z2=180（等量代换）（方法不只一种）证明：如图，延长EG交CF于点H.N 3是GFH的一个外角（外角的定义）.N3=N2+NGHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）V Z 3=Z 1+Z 2（已知）：.ZGHF=Z1（等式性质），8ECF（内错角相等，两直线平行）.NBME+NMNC=180。（两