《函数的极值》示范公开课教案【高中数学北师大】

第二章 导数及其应用 用导数研究函数的性质 6.2 函数的极值 ◆ 教学目标 1．结合实例，借助函数图象直观理解函数的极值定义. 2．能用导数判断函数的极值点，求出极值. ◆ 教学重难点 教学重点：利用导数求出函数的极值点． 教学难点：x0为函数极值点与f'x0=0的逻辑关系． ◆ 教学过程 ◆ 一、新课导入 温故知新：同学们，上节课我们学习了导数与函数单调性的联系，一起回顾一下. 答案：1.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增； 2.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减. 想一想： 我们一开始在缓缓上升，到达坡顶之后，就开始极速下降；又或者在飞速俯冲下去之后，紧接着就是直冲云霄。 其实无论是又上升变为下降还是由下降变为上升，中间都会有一个“转折点”，这个就是我们今天要研究的函数中导数为0的位置. 设计意图：上节课学生知道了导数为正是增函数，导数为负是减函数，但是导数为0的情况又如何呢？借由过山车的例子提出这个问题，以生活实例激发学生的学习兴趣，让他们主动思考问题答案． 二、新知探究 问题1：观察下列两幅函数图像中点x0的位置，并阐述这个点附近有什么特殊之处？ 答案：图（1）中，包含x0的区间(a,b)内，函数y=fx在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=fx的极大值点，其函数值y=fx0为函数的极大值. 图（2）中，包含x0的区间(a,b)内，函数y=fx在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y=fx的极小值点，其函数值y=fx0为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 问题2：关于函数的极值需要注意什么？ 答案：极值是函数的一种局部性质，它们之间并没有绝对的大小关系. 如图，x1，x3，x5都是函数y=fx的极大值点，x2，x4都是函数y=fx的极小值点.极大值甚至可能比极小值小，如fx10，函数fx单调递增； 当x∈(-2,3)时，f'x<0，函数fx单调递减. 判断极值点的过程可以通过下表直观地反应出来 因此x1=-2是函数的极大值点，x2=3是函数的极小值点 通过这道例题，我们可以小结出求函数极值点的三个步骤： 1.求出导数f'x 2.解方程f'x=0 3.对于方程f'x=0的每一个实数根x0，分析在x0附近的符号，确定极值点： （1）“左正右负”为极大值点； （2）“左负右正”为极小值点； （3）符号相同，则不是极值点. 需要注意的是，“f'x0=0”是“x0是函数fx的极值点”的必要不充分条件. 四、课堂练习 1.求函数fx=3x3-3x+1的极值，并画出函数的大致图象； 2.已知函数fx=ax2-(a+2)x+lnx，若x=1是函数的极值点，求a的值； 3.求函数fx=2xex的极小值 参考答案： 1.解： f'x=9x2-3 解方程f'x=0 得 x1=-33 ，x2=33 根据f'x列出下表 根据图表易知，x1=-33为函数fx的极大值点，极大值为f-33=1+233 x2=33为函数fx的极小值点，极小值为f33=1-233 函数fx的大致图象如下 2.解： f'x=2ax-(a+2)+1x ∵f'1=0 ∴2a-(a+2)+1=0 a=1 3.解： f'x=2ex(1+x) 当x=-1时，f'x=0；当x>-1时，f'x>0；当x<-1时，f'x<0 故函数在x=-1处取得极小值f-1=-2e 五、课堂小结 1.若f'x0=0，且x0两边f'x0的符号不同，则称x0为函数的极值点. 2. 求函数极值点的三个步骤： （1）求出导数f'x； （2）解方程f'x=0； （3）对于方程f'x=0的每一个实数根x0，分析在x0附近的符号，确定极值点. 六、布置作业 教材P78 练习第1题．