2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备考点06 函数的概念与运算（原卷版）

2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备 考点06 函数的概念与运算 1．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值. 就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 1、下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝，g(x)＝x－2 C．f(x)＝，g(x)＝sin x D．f(x)＝|x|，g(x)＝ 2、)已知函数，，若，则 A．1 B．2 C．3 D．-1 3、已知函数．若，则实数的值等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3 4、(2019南京三模）若函数f(x)＝，则f(log23)＝ ▲ ． 5、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____． 考向一　函数的概念 例1　(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值； (2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有　　 A．与 B．与 C．与 D．与 变式1、下列各对函数中是同一函数的是(　　) ． A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|； C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2. 变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 变式3、若一系列函数的解析：式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析：式为y＝2x2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个． 方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然； (2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数． 考向二 函数的解析式 例3、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 变式1、已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． 变式2、若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3 ． 变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)． (1)求△ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值． 方法总结：函数解析式的常见求法 　函数解析式的求法主要有以下几种： (1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 考向三 分段函数 例3、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________. （2）、已知则f(7） =______. 变式1、（1）设函数,( ) A．3 B．6 C．9 D．12 （2）设函数则使得成立的的取值范围是________. 方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1、已知实数，函数，若，则a的值为________ 2、设函数，则满足的的取值范围是___． 3、　根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2； (2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； (3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．