2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备考点22 三角恒等变换（2）（原卷版）

2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备 考点22 三角恒等变换（2） 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦． 2. 要注意对“1”的代换： 如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. 3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成： 如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±. 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等． 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤. (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式． (3)y＝(或y＝) 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解． 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式． (2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解． 1、若，则= ． 2、若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B. 3、已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为____________． A． B. C. D． 4、已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________. 5、已知是第四象限角，且，则　　． 6、若，则______． 考向一　变角的运用 例1、若，，，，则 A． B． C． D． 变式1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，，则的值为______． 变式2、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且，则__________． 变式3、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b. (1) 求tan的值； (2) 求cos的值． 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。 考向二 求角 例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈. (1) 求sin的值； (2) 若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值． 变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求： (1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的大小． 变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点． (1)求的值； (2)若，且，求角的值． 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考向三 公式的综合运用 例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数， （1）求的最小正周期和单调递减区间。 （2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。 变式1、（2020江苏淮安楚州中学月考）已知函数． (1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合； (2)若，求函数的单调增区间． 变式2、（2020江苏如东高级中学月考）已知函数．若，求函数的值域． 方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧． 1、已知，，则的值为_______． 2、设，，且，则 ． ． ． ． 3、已知，则的值是_________． 4、已知函数为奇函数，且，其中． （1）求的值； （2）若，求的值． 5、已知函数． (1) 求的值； (2) 若，求．