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2021-2022学年浙江省百校高三上学期开学考
数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，则M∩N＝（ ）
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
2．已知复数z＝4﹣2a﹣（8+a）i为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．2 D．4
3．已知函数y＝f（x）在区间[a，b]内的图象为连续不断的一条曲线，则“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区问[a，b]内有笭点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2﹣2的最小值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．x±2y＝0 D．2y±x＝0
7．若某随机事件的概率分布列满足，则D（X）＝（ ）
A．3 B．10 C．9 D．1
8．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A．三棱锥A﹣A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
9．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B．[﹣1，6] C． D．[1，10]
10．设函数f（x）＝|x+a|+|ex+b|（a，b∈R），当x∈[0，1]时，记f（x）的最大值为t（a，b），若2t（a，b）≥2m2+4m+e﹣1恒成立，则m的最大值为（ ）
A．e B．﹣2 C．0 D．
二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分，单空题每小题6分．
11．已知函数y＝sin2x，则该函数的最小正周期为 ，对称轴方程为 ．
12．已知函数，则f（0）＝ ，f（f（﹣5））＝ ．
13．若二项式（m为实数）展开式中所有项的系数和为1024，则m＝ ，常数项为 ．
14．已知直线l1：x﹣y+3＝0，l2：2x+y＝0相交于点A，则点A的坐标为 ，圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，过点A作圆C的切线，则切线方程为 ．
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
16．在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 种．
17．已知平面内不同的三点O，A，B，满足，若λ∈[0，1]，的最小值为，则＝ ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且．
（1）求角C；
（2）设AC＝6，BC＝4若P为AB上一点，且满足AP＝CP，求AP的长．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，PA＝PB，AB∥DC，．
（1）若AB⊥PD，求的值；
（2）若△PAB为边长为2的正三角形，BC＝2，PD与平面PBC所成角的正弦值为，CD的长．
20．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足b1＝2，nbn+1﹣4anbn﹣3n＝0，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：．
21．已知椭圆的离心率是，一个顶点是B（0，1），点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问直线PQ是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
22．已知函数，其中a≠0，．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设当a＝1时，若对任意x∈（0，1]，不等式f（x）+g（x）＜m恒成立，求整数m的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，则M∩N＝（ ）
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
【分析】利用集合交集的定义进行求解即可．
解：因为M＝{1，2，3，4}，N＝{x|﹣3＜x＜5}，
所以M∩N＝{1，2，3，4}．
故选：C．
2．已知复数z＝4﹣2a﹣（8+a）i为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．
解：因为z＝4﹣2a﹣（8+a）i为纯虚数，
所以4﹣2a＝0且8+a≠0，解得a＝2．
故选：C．
3．已知函数y＝f（x）在区间[a，b]内的图象为连续不断的一条曲线，则“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区问[a，b]内有笭点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充分性显然成立，由函数y＝x2，x∈[﹣1，1]说明必要性不成立．
解：由零点存在性定理，可知充分性成立；
反之．若函数y＝x2，x∈[﹣1，1]，则f（﹣1）⋅f（1）＞0．且有零点x＝0．故必要性不成立．
故选：A．
4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2﹣2的最小值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2﹣2的几何意义，即区域内的点到原点的距离的平方椷2求解．
解：由约束条件作出平面区域如图，
z＝x2+y2﹣2的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方椷2，
由图可知，最近的距离为O到直线AB的距离，等于，
∴z＝x2+y2﹣2的最小值为，
故选：C．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，求出f（2）的值，排除A，即可得答案．
解：根据题意，函数，其定义域为R，
则f（﹣x）＝≠f（x），则函数f（x）不是偶函数，排除CD，
又由，排除A，
故选：B．
6．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C．x±2y＝0 D．2y±x＝0
【分析】利用双曲线的离心率推出，a、b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
解：双曲线的离心率为．
所以，，．即，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝0．
故选：A．
7．若某随机事件的概率分布列满足，则D（X）＝（ ）
A．3 B．10 C．9 D．1
【分析】根据已知条件，运用分布列的性质，可推得a＝1，再结合期望与方差公式，即可求解．
解：，
故，解得a＝1，
∵，，
∴D（X）＝E（X2）﹣E（X）2＝10﹣9＝1．
故选：D．
8．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A．三棱锥A﹣A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
【分析】对于选项，BC1∥平面AA1D，P到平面AA1D的距离不变，三棱锥P﹣AA1D的高不变，△AA1D的面积不变，从而得到三棱锥A﹣A1PD的体积与点P的位置无关；
对于选项B：由BC1∥AD1，得BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，从而得到平面BA1C1∥平面ACD1，进而得到A1P∥平面ACD1；
对于选项C：推导出A1C1⊥平面BB1D，得到A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，从而得到B1D⊥平而A1BC1，进而得到平面PDB1⊥平面A1BC1；
对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为．
解：对于选项．
在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离不变，
即三棱锥P﹣AA1D的高不变，又△AA1D的面积不变，
因此三棱锥P﹣AA1D的体积不变，
即三棱锥A﹣A1PD的休积与点P的位置无关，故A不成立．
对于选项B：由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，
所以平面BA1C1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，
所以A1P∥平面ACD1，故B不成立．
对于选项C：因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，
所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，
又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平而A1BC1，
又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立．
对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为，故D不成立．
故选：C．
9．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B．[﹣1，6] C． D．[1，10]
【分析】设BC的中点为D，连接OA，OC，OD，设θ为和的夹角，由向量的线性运算及数量积运算可得＝||²﹣||cosθ，由cosθ的有界性，结合||∈[0，4]即可求解的取值范围．
解：如图，设BC的中点为D，连接OA，OC，OD，则OD⊥BC．
设θ为和的夹角，
则＝（﹣）⋅＝⋅﹣⋅＝||•||cos∠BCO﹣||⋅||cosθ＝||²﹣||cosθ，
且||²﹣||≤||²﹣||cosθ≤||²+||．
由||∈[0，4]，当||＝时，有最小值；
当||＝4时，有最大值10．
所以的取值范围是．
故选：C．
10．设函数f（x）＝|x+a|+|ex+b|（a，b∈R），当x∈[0，1]时，记f（x）的最大值为t（a，b），若2t（a，b）≥2m2+4m+e﹣1恒成立，则m的最大值为（ ）
A．e B．﹣2 C．0 D．
【分析】首先利用绝对值不等式的性质求出t的范围，接着利用恒成立问题求解不等式即可．
解：∵f（x）＝|x+a|+|ex+b|≥x+a+ex+b，
∴t≥max{x+a﹣ex﹣b}＝max{a﹣1﹣b，1+a﹣e﹣b}，
∴t≥max{x+a+ex+b}＝max{a+1+b，1+a+e+b}，
∴，
∴．
∴，∵恒成立，
∴，
∴﹣2≤m≤0．
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，共36分．多空题每小题6分，单空题每小题6分．
11．已知函数y＝sin2x，则该函数的最小正周期为 π ，对称轴方程为 ．
【分析】直接利用周期公式，对称轴方程进行求解即可．
解：周期＝π，
由，k∈Z，得．
即对称轴为．
故答案为：π，．
12．已知函数，则f（0）＝ 1 ，f（f（﹣5））＝ ﹣1 ．
【分析】推导出f（0）＝20＝1，，从而得到．
解：∵函数，∴f（0）＝20＝1，
∴，∴．
故答案为：1；﹣1．
13．若二项式（m为实数）展开式中所有项的系数和为1024，则m＝ 1 ，常数项为 161 ．
【分析】由题意利用乘方的几何意义，排列组合的知识，求得结果．
解：取x＝1，可得（3+m）5＝1024，∴m＝1，将m＝1代入二项式，可得二项式即 ．
由于 表示5个因式（+x+1）的乘积，
故要得到常数项，需5个因式都取1；或者有2个因式取，2个因式取x，剩下的一个因式取1；
或者有一个因式
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