2022年12月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷B（解析版）

2022年12月北京市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷B 考生须知 1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 2. 本试卷分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分。 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。 参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高. 第一部分 选择题 一、选择题.本部分共20小题，每小题3分，共60分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知集合，集合P满足MP＝，则一定有（　　） A．M＝P B． C． D． 【答案】B 【解答】解：已知集合M，P满足MP＝， ∴P中必然包含元素2022 由元素与集合的关系得 故选：B． 2．函数的定义域为（　　） A．[﹣1，2] B．（﹣1，2] C．[2，+∞） D．[1，+∞） 【答案】B 【解答】解：由题意得： ，解得：﹣1＜x≤2， 故选：B． 3．若，则实数a的取值范围是（　　） A．a∈R B．a＝0 C．a＞ D．a≤ 【答案】D 【解答】解：由， 可得2a﹣1≤0，即． ∴实数a的取值范围是． 故选：D． 4.指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．1 【答案】B 【解答】解：设指数函数y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1； 由f（x）的图象过点（2，4）， 即a2＝4，解得a＝2； 所以f（x）＝2x， 所以f（3）＝23＝8． 故选：B． 5．与角﹣390°终边相同的最小正角是（　　） A．﹣30° B．30° C．60° D．330° 【答案】D 【解答】解：﹣390°＝﹣2×360°+330°， 即与角﹣390°终边相同的最小正角是330°， 故选：D． 6．为了得到函数的图象，只需要将函数图象上所有的点　　 A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】 【详解】， 把函数的图形向右平移个单位可得到函数． 7．下列不等式中，正确的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d B．若a＞b，则a+c＜b+c C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则 【答案】A 【解答】解：对于A选项，若a＞b，c＞d，由不等式的基本性质可得a+c＞b+d，A选项正确；对于B选项，若a＞b，则a+c＞b+c，B选项错误；对于C选项，取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，则ac＜bd，C选项错误；对于D选项，取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，则，D选项错误． 故选：A． 8．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞） 【答案】C． 【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示， 当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3， 函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2， 则实数m的取值范围是[1，2]． 故选：C． 9．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：由于复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则， 解得x＝1，故“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件． 故选：C． 10．已知向量，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：当时，，， ∵， ∴，故充分性成立， 向量，， 则cosθ＝﹣sinθ，解得tanθ＝﹣1，或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 11．已知复数z满足zi2021＝4i2022﹣3i2023，则z＝（　　） A．4+3i B．4﹣3i C．3+4i D．3﹣4i 【答案】C 【解答】解：∵i2＝﹣1，i4＝1， ∴i2021＝（i4）505•i＝i，同理可得，i2022＝﹣1，i2023＝﹣i， ∵zi2021＝4i2022﹣3i2023， ∴iz＝﹣4+3i，即． 故选：C． 12．已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】因为， 所以． 13．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n为（　　） A．16 B．96 C．192 D．112 【答案】C 【解答】解：由题意，因为200：1200：1000＝1：6：5， 所以女学生中抽取总人数的， 故N＝80÷＝192． 故选：C． 14．下列说法正确的是（　　） A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面一点，有无数条母线 【答案】C 【解答】解：如果以直角三角形的斜边旋转，不是圆锥，A不正确；夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体，平面与底面不平行，不是旋转体，不正确；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，符合根据圆台的定义，正确；通过圆台侧面一点，有无数条母线，显然不正确，因为只有一条母线． 故选：C． 15．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．水滴石穿 【答案】A 【解答】解：对于A，“守株待兔”有可能发生，又可能不发生，是随机事件， 对于B，“瓮中捉鳖”一定会发生，是必然事件， 对于C，“水中捞月”不可能发生，是不可能事件， 对于D，“水滴石穿”一定会发生，是必然事件， 故选：A． 16．在中，，，，那么的面积等于　　 A． B． C． D．1 【答案】 【详解】，，， 的面积等于． 17.已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC． 则下列结论不正确的是（　　） A． CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 【答案】D 【解答】解：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC． 则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故A正确； DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确； CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确； CF与AD不垂直，故D中，CF⊥平面PAD不正确； 故选：D． 18．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．﹣2＜a≤2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜2 【答案】B 【解答】解：∵不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R， ①当a﹣2＝0，即a＝2时，不等式为0＜4恒成立， 故a＝2符合题意； ②当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R，即不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R， 则，解得﹣2＜a＜2， 故﹣2＜a＜2符合题意． 综合①②可得，实数a的取值范围是（﹣2，2]． 故选：B． 19．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【答案】C 【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则 ∵长方形容器的容器为4m3，高为1m， ∴底面面积S＝ab＝4，y＝20S+10[2（a+b）]＝20（a+b）+80， ∵a+b≥2＝4， ∴当a＝b＝2时，y取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故选：C． 20．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22， 根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26． 其连续5天的日平均温度均不低于22． ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定． ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．如22，25，25，26，32 这组数据的均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对； 则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地． 故选：B． 第二部分 非选择题（共40分） 二、填空题共4小题，每小题3分，共12分 21．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d＞c；②a+b＝c+d；③a+d＜b+c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为　 　． 【答案】a＜c＜d＜b 【解答】解：∵a+b＝c+d， ∴a＝c+d﹣b， ∵a+d＜b+c， ∴c+d﹣b+d＜b+c， ∴2d＜2b，即d＜b， ∵d＞c，a+d＜b+c， ∴a＜b， ∵a+b＝c+d，b＞d， ∴a＜c， ∴a＜c＜d＜b， 故答案为：a＜c＜d＜b． 22．若200辆汽车通过某一路段的时速频率分布直方图如图所示，则时速在区间[50，60）内的汽车大约有　 　 　 　 辆． 【答案】60 【解答】解：由已知可得样本容量为200， 又∵数据落在区间的频率为0.03×10＝0.3 ∴时速在[50，60]的汽车大约有200×0.3＝60 故答案为60 23．不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是　 　． 【答案】{x|x＜﹣1或x＞3} 【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3． 所以原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}． 24．已知函数，则的值为___________ 【答案】 【详解】函数， ， ． 三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 25．（本小题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】(1)-3 (2) 解：由条件得，，∵，为锐角， ∴，， 因此，. （1）. （2）∵， ∴， ∵，为锐角， ∴， ∴. 26． （本小题满分7分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：AB∥EF； （2）若PA＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD； （3