资源描述
空间向量及其运算
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、b 、c……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
PS
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).
OA=OB+OC=a+b， CB=OB-OC=a-b， OP=λa (λ∈R)
(2) 运算律
① 加法交换律:a+b=b +a ；
② 加法结合律:(a+b)+c =a+(b +c )；
③ 数乘分配律:λ(a+b)=λ a+λb ；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于b ，记作a//b .
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a ，b (b≠0 ) ， a// b⇒ 存在实数λ，使a=λ b .
(3) 三点共线：A、B、C三点共线⇒ AB=λ AC⇒ OC=xOA+yOB(其中 x+y=1)
(4) 与a共线的单位向量为±aa.
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量a , b 不共线，p与向量a , b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x , y)，使p=xa+yb .
(3) 四点共面
方法1 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明AP=x AB+y AC
方法2 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明 OP=x OA+y OB+z OC (其中x+y+z=1)
证明 若x+y+z=1，
则OP=x OA+y OB+z OC=x OA+y OB+1-x-yOC
=OC+xOA-OC+yOB-OC=OC+xCA+yCB，
∴OP-OC=xCA+yCB，∴CP=xCA+yCB，
即CP,CA,CB共面，即A、B、C、P四点共面.
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，
若AB=a，AD=b ，AA1=c，则CM=( )
A．12a+12b+c B．12a-12b+c C．-12a+12b+c D．-12a-12b+c
【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把CM向a , b , c靠拢)
CM=CB+BM
=-b+BA+AM
=-b-a+AA1+A1M
=-b-a+c+12AC
=-b-a+c+12b+a
=-12a-12b+c；
故选：D．
【点拨】
① 空间向量运算符合三角形法则、平行四边形法则，类似平面向量；
② 本题解法很多，比较灵活，而本题解题思路是“首尾相接法”：以a , b , c为基底，在对CM“首尾相接”的时候，尽量向三个基底靠拢(利用a , b , c或其共线向量表示)，做到最后的式子只含三个基底向量；
③ 类似题目需要大胆下笔推算，也可利用一些常见结论：
(1) 在三角形∆ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.
(2) 平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.
【典题2】已知在空间四边形ABCD中，G是△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)AG+13BE+12CA；(2)12(AB+AC-AD)；(3)13(AB+AC+AD)
【解析】(1)AG+13BE+12CA=AB+BG+13BE+12CA
=AB+23BE+13BE+12CA=AB+BE+12CA=AE+12CA
=12AC+12AD+12CA=12AD=AF，
(2)12(AB+AC-AD)=AH-12AD=AH-AF=FH；
(3)13(AB+AC+AD)=13×2AH+13AD=23AH+12AD，
在三角形ADH中，DG=2GH，
则AG-AD=2(AH-AG)，
即有AG=13(2AH+AD)，则有13(AB+AC+AD)=AG．
巩固练习
1(★) 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于 .(用AB，AC，AD表示)
【答案】 -12AC-12AB+23AD
【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，
所以EF=AF-AE=23AD-12AB+12AC=-12AC-12AB+23AD．
2(★) 在空间四边形ABCD中，连结AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB+12BC-32DE-AD的化简结果为__________．
【答案】 0
【解析】如图，延长DE交BC于点F，根据题意知F为BC的中点．
又因为E为正三角形BCD的中心，所以DE=23DF，即DF=32DE，
所以AB+12BC-32DE-AD=(AB-AD)+BF-32DE=DB+BF-DF=DF-DF=0．
3(★★) 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN=13AC1，用a , b, c表示向量MN的结果是 .
【答案】 13a-23b-16c
【解析】∵M是D1D的中点，AN=13AC1
∴MN=MD+DA+AN=-12DDD1-AD+13AC1=-12AA1-AD+13AA1+AD+AB
=13AB-23AD-16AA1=13a-23b-16c．
4(★★★) 在三棱锥A-BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3，则AP= . (用AB，AC，AD表示)
【答案】13AB+12AC+16AD
【解析】三棱锥A-BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：
延长PB至B1，使得PB1=2PB，延长PC至C1，使得PC1=3PC，连接DB1,B1C1,C1D，
因为S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3，所以S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，
所以P为△B1C1D的重心，所以PD+PB1+PC1=0，
即PD+2PB+3PC=0，
所以(AD-AP)+2(AB-AP)+3(AC-AP)=0，
所以AP=13AB+12AC+16AD．
【题型二】空间向量共线共面问题
【典题1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC，求证：E,F,B三点共线．
【解析】设AB=a,AD=b,AA1=c
∴EB=EA1+A1A+AB=23DA-AA1+AB=a-c-23b，
∵A1E=2ED1,A1F=23FC，∴A1E=23A1D1,A1F=25A1C，
∴A1E=23AD=23b，A1F=25AC-AA1=25AB+AD-AA1=25a+25b-25c，
∴EF=A1F-A1E=25a-415b-25c=25a-23b-c，
又∵由(1)知EB=a-23b-c，
∴EF=25EB，且有公共点E，
所以E,F,B三点共线．
【典题2】 已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP-OA；(2)OP=4OA-OB-OM．
【解析】(1)∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，
又∵对于平面ABM外的任意一点O，
若OB+OM=3OP-OA，
则，
∵13+13+13=1，故点P与A,B,M共面，
(2)∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，
又对于平面ABM外任意一点，
若OP=4OA-OB-OM，则4-1-1=2≠1，
故点P与A,B,M不共面．
【典题3】 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E,F,G,H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E,F,G,H四点共面．
【解析】 分别延长PE,PF,PG、PH，交对边于M,N,Q,R点，
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心，所以M,N,Q,R为所在边的中点，
顺次连接M,N,Q,R得到的四边形为平行四边形，
且有PE=23PM,PF=23PN,PG=23PQ,PH=23PR；如图所示，
∴MQ=MN+MR=PN-PM+PR-PM
=32(PF-PE)+32(PH-PE)=32(EF+EH)；
又∵MQ=PQ-PM=32PG-32PE=32EG，
∴32EG=32(EF+EH)，∴EG=EF+EH
由共面向量定理知：E,F,G,H四点共面．
巩固练习
1(★) 已知向量a，b且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b，则一定共线的三点为( )．
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】因为BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB，
所以AB与BD共线，即A，B，D三点共线．
2(★) 在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．OM=OA-OB-OC B．OM=15OA+13OB+12OC
C．MA+MB+MC=0 D．OM+OA+OB+OC=0
【答案】C
【解析】在C中，由MA+MB+MC=0，得MA=-MB-MC，则MA,MB,MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面；
对于A，由OM=OA-OB-OC，得1－1－1=－1≠1，不能得出M、A、B、C四点共面；
对于B，由OM=15OA+13OB+12OC，得15+13+12≠1，所以M、A、B、C四点不共面；
对于D，由OM+OA+OB+OC=0，得OM=-(OA+OB+OC)，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面．
故选：C．
3(★) (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．若a//b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，若OP=2OA+2OB-3OC，
则P,A,B,C四点共面
D．若两个非零空间向量AB,CD，满足AB+CD=0，则AB//CD
【答案】 AB
【解析】 当b=0，满足a与b共线，b与c共线，而a与c不一定共线，故A错误；
当a与b均为零向量时，能够保证a//b，则存在无数多的实数λ，
使得a=λb，故错误；
∵OP=2OA+2OB-3OC，即OP-OA=(OA-OC)+2(OB-OC)，
∴AP=CA+2CB，
由平面向量基本定理可得P,A,B,C四四点共面，故C正确；
∵非零空间向量AB,CD满足AB+CD=0，∴AB=-CD，∴AB//CD，故D正确．
故选：AB．
4(★★) 已知在正方体ABCD-A1B1C1
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