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扬州市梅岭中学教育集团2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 二次函数的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定
4. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A. cm B. 2（﹣1）cm C. 4（﹣1）cm D. 6（﹣1）cm
5. 关于x一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根 D. 没有实数根
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
7. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数y1＝（x＋1）（x﹣7），y2＝（x＋1）（x﹣15）的图象，为了使两个函数图象的对称轴重合，则需将二次函数y2＝（x＋1）（x﹣15）的图象（ ）
A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位
C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
8. 如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（ ）
A. 当时， B.
C. 当时， D. 当时，
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）
9. 若，则______．
10. 如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____．
11. 如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16，则MD＝_____．
12. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶2，坡面AB＝6，则堤高的高度是_______．
13. 如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
14. 如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，＝，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为______．
15. 用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是______．
16. 如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则的长为______．（结果保留π）
17. 如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______.
18. 如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为______．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．）
19. 计算：
（1）sin60°•cos30°﹣1；
（2）2sin30°＋3cos60°﹣4tan45°．
20. 解方程．
（1）3x2﹣1＝4x；
（2）（x＋4）2＝5（x＋4）．
21. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB·BC＝AC·CD
22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE值．
23. 如图为二次函数y＝﹣x2﹣x＋2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x＋2＝0的解为 ；
（2）当y＞0时，x的取值范围是 ；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 ．
24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ；
（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作射线CM且满足∠ACM=∠ABC．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并证明；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
26. 某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果700千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y＝50＋2x．但保存这批水果平均每天将耗损15千克，且最多能保存8天．另外．批发商保存该批水果每天还需50元的费用．
（1）填空：若开发商保存3天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 （元/千克）
（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出．求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；
（3）填空：在（2）的条件下，批发商经营这批水果所获得的最大利润为 ．
27. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形______（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；
如图1，△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，
①若α＝26º，∠B＝100º，∠E＝29º，则∠BAE＝______；
②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，则BC＝______；
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90º，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：
如图3，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转位似图形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值．
28. 抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且，求N点坐标．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误；
B、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误；
C、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确；
D、x+=4，是分式方程，故此选项错误；
故选C．
2. 二次函数的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3，
∴顶点坐标为（0，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h），
3. 已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选C.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A. cm B. 2（﹣1）cm C. 4（﹣1）cm D. 6（﹣1）cm
【答案】C
【解析】
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：C．
【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
5. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根 D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．
【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，
∵（k-1）2≥0，
即△≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．
【详解】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
7. 已知平面直角坐标系中有两个二次函数y1＝（x＋1）（x﹣7），y2＝（x＋1）（x﹣15）的图象，为了使两个函数图象的对称轴重合，则需将二次函数y2＝（x＋1）（x﹣15）的图象（ ）
A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位
C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出两个二次函数的对称轴，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数y1＝（x＋1）（x﹣7）的对称轴为直线，
∵二次函数，
∴二次函数y2＝（x＋1）（x﹣15）的对称轴为直线，
∵，
∴需将二次函数y2＝（x＋1）（x﹣15）的图象向左平移4个单位两个函数图象的对称轴重合．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质得到两个二次函数的对称轴是解题的关键．
8. 如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，
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