专题1-1 集合题型归类一、热点题型归纳 1【题型一】 集合中的元素 1【题型二】 集合中的元素个数 2【题型三】 集合中元素个数求参 4【题型四】 子集及子集个数 5【题型五】 子集关系求参(难点） 7【题型六】 子集综合应用 9【题型七】 集合交集运算及求参 10【题型八】 集合并集运算及求参 12【题型九】 集合补集运算及求参 14【题型十】 韦恩图 15【题型十一】集合综合应用 17二、真题再现 20三、模拟检测 23【题型一】集合中的元素【典例分析】已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断．集合有两个元素：和，故选：B【提分秘籍】基本规律1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系变式演练】1.下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.2.集合（ ）A．R B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦函数的值域可得正确的选项.，故选：B.3.若，则的可能取值有（ ）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C【题型二】集合中的元素个数【典例分析】若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.由为R上的奇函数,①，又 ②，由②－①为周期为2的周期函数,而又，当时当时,．又当时，单调递增，且．故可作出函数 的大致图象如图：而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，∴集合中的元素个数为13．故选：C．【提分秘籍】基本规律集合中元素个数：1.点集多是图像交点2.数集，多涉及到一元二次方程的根。
变式演练】1.已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C求出点关于原点、坐标轴、直线的对称点，其中关于直线对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．因为,中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以所以中的元素个数至少有8个，故选：C.2.定义：当时，成为“格点”，则集合对应的图形有（ ）格点A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由条件可得则，所以，即的取值为，分别讨论的取值，求得的值，从而得到答案.由当，则，所以，得到，所以的取值为所以当时，的值为： 当时，的值为： 当时，的值为： 所以满足条件的点有9个故选：C3.已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ）A．0 B．0或 C．0或2 D．2【答案】C【分析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.若中只有一个元素，则只有一个实数满足，即抛物线与轴只有一个交点，∴，∴或2.故选：C【题型三】集合中元素个数求参【典例分析】已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围解：因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选：D【提分秘籍】基本规律在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性【变式演练】1.已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.解：①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．2.已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用元素与集合的关系求解.因为，所以，解得．故选：D．3.已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（ ）A． B． C． D．【答案】A当分别取时，，，排除，当分别取时，，，排除，当分别取时，，，排除，故选A.【题型四】子集及子集个数【典例分析】设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】C【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值.【详解】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）.故选：C【提分秘籍】基本规律元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举【变式演练】1.设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）A．32 B．56 C．72 D．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）A．49 B．48 C．47 D．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合知： 1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；∴一共有个，故选：A3.若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）A． B．AÜB=C C．AÜBÜC D．BÜCÜA【答案】B【分析】先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.【详解】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AÜB=C．故选B.【题型五】子集关系求参(难点）【典例分析】设集合，，，，其中，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.【详解】解对于集合，，可得当即可得，即有，可得对任意，是的子集；当时，，可得是的子集；当时，，可得不是的子集；综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.故选：【提分秘籍】基本规律授课时讲透彻这个“顺序感”：子集是从“从空集开始，到自身结束”【变式演练】1.已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.【详解】依题意，，，令，当时，函数在上单调递增，而，则，使得，当时，，当时，，此时，因此，，当时，若，，则恒成立，，满足，于是当时，，当且仅当，即不等式对成立，，由得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，于是得，即，变形得，解得，从而得当时，恒成立，，满足，所以实数a的取值范围是或.故选：D2.集合或，若，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．3.，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C集合表示圆心为原点，半径为1的圆，集合表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出的范围即可．【详解】集合为圆内部或圆周 上的点集，为直线，，，围成的正方形，画出图。