2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)

全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合Ax|x25x+60，Bx|x10，则 AB（）A（，1）B（2，1）C（3，1）D（3，+）2（5 分）设 z3+2i，则在复平面内 对应的点位于（）A第一象限3（5 分）已知A3B第二象限（2，3），B2（3，t），|C第三象限|1，则C2D第四象限（）D34（5 分）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程+（R R+r）设 由于 的值很小，因此在近似计算（）33，则 r 的近似值为ARBRCRDR5（5 分）演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差6（5 分）若 ab，则（）Aln（ab）0B3a3bCa3b30D|a|b|7（5 分）设，为两个平面，则 的充要条件是（）A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8（5 分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆A2B3C4，+1 的一个焦点，则p（）D8）单调递增的是（）Df（x）sin|x|9（5 分）下列函数中，以Af（x）|cos2x|为周期且在区间（Bf（x）|sin2x|Cf（x）cos|x|10（5 分）已知（0，A B），2sin2cos2+1，则 sin（）C D 11（5 分）设 F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2+y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为（）A B C 2D12（5 分）设函数f（x）的定义域为R R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意 x（，m，都有 f（x），则 m 的取值范围是（）A（，二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为14（5 分）已知（x）f是奇函数，且当 x0 时，（x）feax 若 f（ln2）8，则 a15（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b6，a2c，BABC 的面积为，则16（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17172121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共共6060 分。分。17（12 分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值18（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成 10：10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10：10 平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束（1）求 P（X2）；（2）求事件“X4 且甲获胜”的概率19（12 分）已知数列an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式20（12 分）已知函数f（x）lnx（1）讨论 f（x）的单调性，并证明 f（x）有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f（x）的一个零点，证明曲线 ylnx 在点 A（x0，lnx0）处的切线也是曲线yex的切线21（12 分）已知点 A（2，0），B（2，0），动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为记 M 的轨迹为曲线C（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点P 在第一象限，PEx 轴，垂足为E，连结 QE 并延长交C 于点 G（i）证明：PQG 是直角三角形；（ii）求PQG 面积的最大值（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 M（0，0）（00）在曲线C：4sin 上，直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为P（1）当时，求 0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23已知 f（x）|xa|x+|x2|（xa）（1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）当 x（，1）时，f（x）0，求 a 的取值范围20192019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合Ax|x25x+60，Bx|x10，则 AB（）A（，1）B（2，1）C（3，1）D（3，+）【分析】根据题意，求出集合 A、B，由交集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，Ax|x25x+60 x|x3 或 x2，Bx|x10 x|x1，则 ABx|x1（，1）；故选：A【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题2（5 分）设 z3+2i，则在复平面内 对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】求出 z 的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可【解答】解：z3+2i，在复平面内 对应的点为（3，2），在第三象限 故选：C【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题3（5 分）已知A3【分析】（2，3），B2（3，t），|1，则C2（）D3先求的坐标，然后根据|1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解【解答】解：（2，3），（3，t），|1，（1，t3），|t30 即则2（1，0），故选：C【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题4（5 分）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程+（R R+r）设 由于 的值很小，因此在近似计算（）33，则 r 的近似值为ARBRCRDR【分析】由 推导出33，由此能求出 rR【解答】解rR，r 满足方程+（R R+r）33，rR故选：D【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题5（5 分）演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案【解答】解：根据题意，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题6（5 分）若 ab，则（）Aln（ab）0B3a3bCa3b30D|a|b|【分析】取 a0，b1，利用特殊值法可得正确选项【解答】解：取 a0，b1，则ln（ab）ln10，排除 A；，排除 B；a303（1）31b3，故 C 对；|a|0|1|1b，排除D 故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题7（5 分）设，为两个平面，则 的充要条件是（）A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】解：对于A，内有无数条直线与 平行，或；对于 B，内有两条相交直线与 平行，；对于 C，平行于同一条直线，或；对于 D，垂直于同一平面，或 故选：B【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题8（5 分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆A2+1 的一个焦点，则p（）D8B3C4【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得【解答】解：由题意可得）2，解得p8 故选：D【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题9（5 分）下列函数中，以Af（x）|cos2x|为周期且在区间（，）单调递增的是（）Df（x）sin|x|Bf（x）|sin2x|Cf（x）cos|x|【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解【解答】解：f（x）sin|x|不是周期函数，可排除 D 选项；f（x）cos|x|的周期为 2，可排除 C 选项；f（x）|sin2x|B 故选：A【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题10（5 分）已知（0，A B），2sin2cos2+1，则 sin（）C D 处取得最大值，不可能在区间，）单调递增，可排除【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得 4sincos2cos2，结合角的范围可求sin0，cos0，可得 cos2sin，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin 的值【解答】解：