2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册-2.4 解直角三角形能力达标专题训练（附答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》能力达标专题训练（附答案） 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，则下列各式中正确的是（　　） A．c＝b•sin B B．b＝c•sin B C．a＝b•tanB D．b＝c•tan B 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　） A． B． C． D．2 4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，cosA＝，则sin∠CBD的值（　　） A． B．2 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是（　　） A．5sin36° B．5cos36° C．5tan36° D．10tan36° 9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 11．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，则△ABC的周长是　 　． 12．在直角坐标平面内有一点A（12，5），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝　 　． 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC＝　 　． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM＝1，BD＝3，则sinB＝　 　． 15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则tan∠AOB＝　 　． 16．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2 （1）求∠ABD的值； （2）求AD的长． 17．如图，在△ABC中，BA＝BC，点E在BC上，且AE⊥BC，cos∠B＝，EC＝3． （1）分别求AB和AE； （2）若点P在AB边上，且BP＝4，求△BPE的面积． 18．如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝100cm，求△ABC的面积． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AE＝10，cosA＝． （1）求AC，CD的长； （2）求tan∠DBC的值． 20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长． 参考答案 1．解：在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4， 由勾股定理得，AB＝＝5， ∴sinα＝＝， 故选：C． 2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c， b＝c•sinB，b＝c•sinB，a＝b•tanA，b＝a•tanB． 故选：B． 3．解：延长AD、BC，两线交于O， ∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3， ∴OB＝4， ∵BC＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2， 在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ODC＝90°＝∠B， ∵∠O＝∠O， ∴△ODC∽△OBA， ∴＝， ∴＝， 解得：DC＝， 故选：C． 4．解：如图，过点B作BD⊥AC于D， 由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3， ∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3， ∴BD＝， ∴sin∠BAC＝＝＝． 故选：B． 5．解：在Rt△ABD中，设AB＝AC＝5k， ∵cosA＝＝， ∴AD＝3k． ∴CD＝5k﹣3k＝2k． ∴BD＝ ＝4k． 在Rt△CBD中， BC＝ ＝2k． ∴sin∠CBD＝ ＝ ＝． 故选：D． 6．解：过点P作PE⊥x轴于E． ∵P（a，3）， ∴OE＝a，PE＝3， ∵tan∠POE＝＝， ∴OE＝4， ∴OP＝＝＝5， ∴cosα＝＝． 故选：B． 7．解： 过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴四边形MONP是矩形， ∴PM＝ON，PN＝OM， ∵P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3， ∴tanα＝＝， 故选：C． 8．解：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴BD＝BC＝5，AD⊥BC． 在Rt△ABD中， ∵tanB＝， ∴AD＝tanB×BD＝5tan36°． 故选：C． 9．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB+∠EAD＝90°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴△ABC∽△DAB， ∴＝， ∵BC＝AD， ∴AD＝2BC， ∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2， ∴AB＝BC， 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝； 故选：C． 10．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示． 在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝1， ∴AD＝＝； 在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝， ∴AB＝＝2， ∴sinB＝＝． 故选：D． 11．解：根据题意得△＝25sin2A﹣16＝0， ∴sin2A＝， ∴sinA＝﹣或 ， ∵∠A为锐角， ∴sinA＝． 由题意知，方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0有两个实数根， 则△≥0， ∴100﹣4（m2﹣4m+29）≥0， ∴﹣（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2≤0， 又∵（m﹣2）2≥0， ∴m＝2， 把m＝2代入方程，得y2﹣10y+25＝0， 解得y1＝y2＝5， ∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况： 当∠A是顶角时： 如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB＝AC＝5． ∵sinA＝， ∴AD＝3，BD＝4， ∴DC＝2， ∴BC＝2． ∴△ABC的周长为； 当∠A是底角时： 如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB＝5， ∵sinA＝， ∴AD＝DC＝3， ∴AC＝6． ∴△ABC的周长为16， 综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16． 故答案是：或16． 12．解：作AB⊥x轴于点B，如右图所示， ∵点A（12，5）， ∴OB＝12，AB＝5，∠ABO＝90°， ∴OA＝＝13， ∴cos∠AOB＝， 即cosθ＝， 故答案为：． 13．解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E． Rt△AEC中，tanC＝＝＝， 故答案为：． 14．解：连接AD， 由作图可知，AD＝AC，AM是∠DAC的角平分线， ∴AM⊥DC，DM＝MC＝1， ∵BD＝3， ∴BM＝3+1＝4，AB＝3+2＝5＝BC， ∴AM＝， ∴sinB＝， 故答案为：． 15．解：如图，取格点E，连接AE，OE． 在Rt△AEO中，tan∠AOB＝＝＝2， 故答案为2． 16．解：（1）过点D作DE⊥BC于点E， ∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝2， ∴CE＝，DE＝3， ∵BC＝3+， ∴BE＝BC﹣CE＝3+﹣＝3， ∴DE＝BE＝3， ∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°， ∵AB⊥BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°； （2）过点A作AF⊥BD于点F． 在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1， ∴BF＝AF＝， ∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3， ∴BD＝3， ∴DF＝BD﹣BF＝3﹣＝， ∴在Rt△AFD 中，AD＝＝＝． 17．解：（1）∵AE⊥BC，cos∠B＝， ∴设AB＝5x，BE＝4x， ∵BA＝BC， ∴BC＝5x， ∵EC＝3，CE＝BC﹣BE， ∴5x﹣4x＝3， 解得x＝3， ∴AB＝5×3＝15， BE＝4×3＝12， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝9； （2）△ABE的面积＝BE•AE＝×12×9＝54， ∵BP＝4， ∴△BPE的面积＝×54＝14.4． 18．解：作CD⊥AB于D，设CD＝x 在Rt△ADC中，∠A＝∠ACD＝45° ∴AD＝CD＝x， 在Rt△CDB中，cot60°＝ ∴BD＝CD•cot60°＝ ∵AD+BD＝AB＝100 ∴， ∴S△ABC＝AB•CD＝×100×50（3﹣） ＝7500﹣2500（cm2）． 19．解：（1）在Rt△ADE中，∵cosA＝＝， ∴AD＝AE＝26， ∴DE＝＝＝24， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴CD＝ED＝24， ∴AC＝AD+CD＝26+24＝50； （2）在Rt△ADE中，tanA＝＝＝， 在Rt△ABC中，∵tanA＝＝， ∴BC＝120， 在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝＝． 20．解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12， ∴BC＝AC＝12 ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12 CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝4， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．