湖北省襄阳市襄樊职业技术学院附属中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f（x）= （λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，则λ的取值范围是（ ）
A．（0，2] B．[0，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围
【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），
任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，
∴f（a））≥1恒成立
∴λ﹣1≥1即可，
∴λ≥2，
方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，
当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，
当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，
当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，
∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4
∴f（f（a））=2f（a）恒成立
②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），
当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，
∴f（f（a））=2f（a）恒成立，
当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，
f（f（a））=2f（a）不恒成立，
综上所述λ≥2，
故选：C
2. 已知i是虚数单位．复数，则复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
A
3. 设函数，则关于x的方程有三5个不同实数
根，则等于
C. 5 D. 13
参考答案：
C
【知识点】分段函数的应用．B10
解析：∵方程有3个实数根，=k有解时总会有2个根，
所以必含有1这个根，令=1，解得x=2或x=0，所以x12+x22+x32=02+12+22=5．
故选C．
【思路点拨】根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得．
4. 已知：sinα＋cosβ＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是
A．[－2，2] B．[－，2] C．[－2，] D．[－，]
参考答案：
D
cos2α＋cos2β
又sinα＋cosβ＝，∴cosβ=易得：∴=sinα，∴[－，].
故选：D
5. 设，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
6. 设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（ ）
A. p为真 B. 为假 C.为假 D.为真
参考答案：
C
7. 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
8. 已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于
A.25 B.24 C. D.
参考答案：
9. 已知集合A={3,4,5,6}，B={a}，若A∩B ={6}，则a=（）
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
参考答案：
D
∵A∩B ={6}，∴6∈B，∴a=6.
10. 下列命题中的假命题是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y,z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x,y,z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
参考答案：
(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},
{A5,A9},{A7,A9},共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.
所以P(B)==.
略
12. 在区间[0,1]内任取两个数，能使方程两根均为实数的概率为 .
参考答案：
13. 某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为 ___________。
参考答案：
1800
略
14. 设数列满足，点对任意的，都有向量
，则数列的前项和 .
参考答案：
n2+n
【知识点】数列与向量的综合．B4
解析：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），
∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，
∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，
解得a1=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n，∴Sn==n2+n．
故答案为：n2+n．
【思路点拨】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a1+2a2=7中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn．
15. .一个不透明的袋子中装有若干个大小相同的白球，现取8个与白球除颜色外完全相同的黑球放入袋子中，摇匀之后，随机摸出一个球，记下颜色并放回，经过大量重复试验后，发现摸出黑球的频率稳定在0.1附近，则估计袋子中原有白球约_______个．
参考答案：
72.
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】依题意有：
解得：n=72．
故答案：72．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
16. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为
参考答案：
17. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”。现给出下列函数：
①； ②； ③；
④是定义在实数集的奇函数，且对一切均有。
其中是“倍约束函数”的是___ _____。（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①④
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分）
如图，矩形ABCD中，BC = 2，AB = 1，PA丄平面ABCD， BE//PA,，F为PA的中点.
(I)求证:DF//平面 PEC
(II)若PE=，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的 余弦值.
参考答案：
略
19. 已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（）.
（1） 若，求数列的前项和；
（2） 若对于，总有，求的取值范围.
参考答案：
（1）由已知有，.………………2分
，
，………………5分
所以，
. …………………………………8分
（2）即.由且得.2分
所以或………………………………3分
即或对任意成立，………………………5分
而，且，所以或.…………… 8分
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=（n+1）an，数列{bn}中，bn=2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）由题意可知：两式相减2an=（n+1）an﹣nan﹣1，则=，采用“累乘法”即可求得数列{an}，bn=2=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： =﹣，即可求得Tn．
【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，由2Sn=（n+1）an，则2Sn﹣1=nan﹣1，
两式相减得：2an=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得： =，
由an=??…?=??…??1=n，（n≥2），
当n=1时，a1=1，
∴an=n，（n∈N*）；
由bn=2=2n+1．
∴{bn}的通项公式bn=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ），=，
==﹣，
由数列{}的前n项和Tn，Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），
=1﹣+﹣+…+﹣，
=1﹣，
=．
数列{}的前n项和Tn=．
【点评】本题考查数列的前n项和求法，考查“裂项法”，“累乘法”，考查计算能力，属于中档题．
21. (本小题满分12分) 已知函数，.
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）由，得． 1分
当变化时，与的变化情况如下表：
x
(0，4)
4
(4，+∞)
+
0
-
3分
所以当时，； 4分
（Ⅱ） 5分
，则当时，，所以在[1，+∞)上是增函数，
所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．
7分
②若，则当时，，所以在[1，+∞)上是减函数，
所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．
9分
③若0
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