湖北省荆州市五三中学2023年高三数学文月考试题含解析

湖北省荆州市五三中学2023年高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象 A.向右平移个长度单位   B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位   D.向左平移个长度单位 参考答案： C 2. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则(     ) A．f（1）＞f（0） B．f（1）＞f（4） C． D． 参考答案： C 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】计算题；数形结合；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】利用函数的周期性以及函数的奇偶性，结合函数的解析式求解即可． 【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（2﹣x），函数的周期为2，关于x=2对称， 当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2， f（1）=f（3）=3﹣2=1， =f（）=f（）=f（）=， f（0）=f（2）=f（4）=2． ∴． 故选：C． 【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力． 3. 已知平面直角坐标系内的两个向量＝(1,2)，＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成＝λ＋μ(λ，μ是实数)，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2)     B．(2，＋∞)    C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 参考答案： C 略 4. 设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 参考答案： C 【分析】 根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 5. 双曲线的实轴长是(　　) A．2            B．2          C．4        D．4 参考答案： C 略 6. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为(    ) A.  -2      B.  -1    C.  1    D.  2 参考答案： B   当时，，则 函数是偶函数， 知识点：偶函数的性质，导数的运算  难度：1 7. 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 参考答案： C 考点： 茎叶图． 专题： 概率与统计． 分析： 把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可． 解答： 解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为 5，8，10，14，16，16，20，23； ∴这组数据的中位数是=15． 故选：C． 点评： 本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目 8. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题，其中是“可换命题”的是（　     　） ①垂直于同一平面的两直线平行；               ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行；               ④平行于同一平面的两直线平行． A．①②          B．①④          C．①③         D．③④ 参考答案： C 9. 集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（?RB）等于（　　） A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3} 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案． 【解答】解：∵B={x|x＜﹣1}，∴?RB={x|x≥﹣1}， 又A={x|﹣2≤x≤3}， ∴A∩（?RB）={x|﹣1≤x≤3}． 故选：D． 10. 复数（i是虚数单位）的虚部是（　　） A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵ =， ∴复数的虚部是1． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，，，， 则         ． 参考答案： ∵，可得，① ∴两边平方可得，，解得：， ∵，可得：，② ∴由①②解得：， 又∵，可得：， 两边平方，可得：，， ∴． 故答案为． 12. 函数f(x)=的定义域为______________. 参考答案： 略 13. 若全集，函数的值域为集合，则          . 参考答案： 14. 对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．” 请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为          ； 计算=                  . 参考答案： ; 2012 15. 如图所示，二面角的大小为，点A在平面内，   的面积为，且，过A点的直线交平面于B，，且AB与平面所成的角为30°，则当________时，的面积取得最大值为_________。   参考答案： 答案:  16. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有．如果B、M、N共线，则r的值为　　． 参考答案： 【考点】NC：与圆有关的比例线段． 【分析】根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出、的坐标，将B，M，N三点共线转化为∥，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值． 【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1， 则A（0，0），B（1，0），C（，）， E（0，）， 设M的坐标为（x，y）， ∵，∴（x，y）=r（，）， 则x=r，y=r，即M（r， r）， 同理可求，N的坐标是（（1﹣r），（1+r））， ∴=（r﹣1， r），=（﹣r，（1+r））， ∵B，M，N三点共线， ∴∥，则（r﹣1）×（1+r）﹣r×（﹣r）=0， 化简得，3r2=1，解得r=， 故答案为：． 17. 已知函数在处取得极值，若，则的最小值是________. 参考答案： -13 试题分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为的最小值． 求导数可得，∵函数在x=2处取得极值， ∴-12+4a=0，解得a=3，∴， ∴n∈ 时，，当n=-1时，最小，最小为-9， 当m∈时， 令得m=0，m=2， 所以m=0时，f（m）最小为-4， 故的最小值为-9+（-4）=-13． 故答案为：-13． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件． 【方法点睛】利用导数性质研究函数的最值问题属于平时练习和考试的常见题目，解决问题的方法主要是分类讨论，结合导函数的有关性质进行求解，涉及题型比较丰富，有一定难度. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足=，当P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆C：x2+y2=4上，由此能求出曲线E的方程． （II）设直线l：y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量，结合已知条件能求出直线l的方程． 【解答】解：（I）设M（x，y）， ∵P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′， 点M满足=，当P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E． ∴P（x，2y）在圆C：x2+y2=4上， ∴x2+4y2=4， 即曲线E的方程为： =1，…（4分） （II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立， ∴直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2． 设C（x1，y1），D（x2，y2），则， ∴（1+4k2）x2+16kx+12=0．…（6分） 由△=（16k）2﹣4（1+4k2）﹣12＞0，得k2＞． ，…．①，，…②．…（8分） 又由=，得， 将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足k2＞）． 所以直线l的斜率为k=±1． 所以直线l的方程为y=±x+2．…（12分） 【点评】本题考查曲线方程、直线方程的求法，考查椭圆、射影、圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 19. 已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1． （Ⅰ）求证：AC平分∠BAD； （Ⅱ）求BC的长． 参考答案： 【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长． 【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA， 因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD， 又因为AD⊥CD，所以OC∥AD， 所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE， 连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED， 所以，所以BC=2． 【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质． 20. （本小题满分15分）如图，过抛物线（）焦点的直线与交于，两点，直线交抛物线于，两点，点，在直线的同侧．已知，四边形的面积为． 求的值； 求直线的方程． 参考答案： 21. （本小题满分12分）梯形中，，，，如图①；现将其沿折成如图②的几何体，使得. （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的余弦值.                     参考答案： 解：（Ⅰ）由题意，， .在中，∵，∴， ∴两两垂直，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）. 设平面的法向量为，，， ，取 设直线与平面成的角为， 则 直线与平面成的角为   （Ⅱ）设平面的法向量为，   令