湖北省武汉市育才美术中学高三数学文期末试卷含解析

湖北省武汉市育才美术中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（     ）      参考答案： B 2. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是 参考答案： A 略 3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D. 异面且垂直 参考答案： D 4. 某单位为了了解某办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间 的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温(oC) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64    由表中数据得到线性回归方程，当气温为－4 oC时，预测用电量约为     A．68度 B． 52度 C．12度 D．28度 参考答案： A 5. 复数的共轭复数等于（   ）              参考答案： C 6. 已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，则?UA=（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．R D．（1，+∞） 参考答案： B 【考点】补集及其运算． 【分析】根据补集的定义写出集合A的补集即可． 【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜1}， 则?UA={x|x≥1}=[1，+∞）． 故选：B． 7. 函数的大致图象为 (　　) 参考答案： D 8. 已知正项等比数列{an}满足：，，则(    ) A．16 B．－16 C．15 D．－15 参考答案： C 由等比数列的性质得．所以， 又因为，所以，所以，，． 9. 如图所示的程序框图，如果输入的n为6，那么输出的n为(     ) A．16 B．10 C．5 D．3 参考答案： C 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，确定输出的n值． 解答： 解：当输入的n=6，由程序框图知：第一次循环n=3，i=1； 第二次循环n=3×3+1=10，i=2； 第三次循环n=5，i=3， 不满足条件i＜3，跳出循环体，输出n=5． 故选：C． 点评：本题考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 10. 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　） A. 180                 B. 90             C. 45             D.360 参考答案： A 试题分析：因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A. 考点：二项式理及展开式通项公式. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若?=0，则实数k的值为　　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k． 【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量 ∴ ∴ = = ∵ ∴ 解得 故答案为： 12. 袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　   　． 参考答案： 0.6 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，由此能求出这2只球颜色不同的概率． 【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球， 从中一次随机摸出2只球， 基本事件总数n==10， 这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=， ∴这2只球颜色不同的概率为p=． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 　 13. 已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于 f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是　　 参考答案： ② 8.方程的实数解为       . 参考答案： log34 15. 已知正方形ABCD的边长为1，当每个取遍±1时，的最小值是________；最大值是_______. 参考答案： 0    【分析】 本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】 要使的最小，只需要 ，此时只需要取 此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。 比如 则. 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.   16. 设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______． 参考答案： 因为，所以由得，即，它表示以为圆心，半径为的圆面。由得，即，整理得，即或，显然的交点为，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合所表示的区域的面积为，如图： 17. 若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+5y的最大值为_____． 参考答案： 17 【分析】 先画出可行域，作出目标函数的平行直线，确定z与目标函数的纵截距之间的关系，从而平移目标函数确定最优解即可算出最大值. 【详解】画出可行域如图所示的△ABC的内部（包括边界）： 由z＝3x+5y可得y，则z为直线y在y轴上的截距， 作直线L：3x+5y＝0，把直线L向上平移到A时z最大，向下平移到B时z最小， 由可得A()，此时z的最大值为17， 由可得B(﹣2,﹣1)，此时z的最小值为﹣11. 故答案为：17. 【点睛】本题考查线性规划问题，正确画出可行域并确定z与目标函数的纵截距之间的关系是解决本题的关键，属中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点． （Ⅰ）求证：EG//平面ABF； （Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积； （Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 参考答案： （I）证明：取AB中点M，连FM，GM． ∵ G为对角线AC的中点， ∴ GM∥AD，且GM=AD， 又∵ FE∥AD， ∴ GM∥FE且GM=FE． ∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM． 又∵ 平面ABF，平面ABF， ∴ EG∥平面ABF．…………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N， 由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD， 得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高． ∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60o， ∴ △AEF是正三角形． ∴ ∠AEF=60o， 由EF//AD知∠EAD=60o， ∴ EN=AE?sin60o=． ∴ 三棱锥B-AEG的体积为 ．……………………8分 （Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下： ∵ 四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED， ∴ CD⊥平面AFED， ∴ CD⊥AE． ∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且， ∴ ． 又在△AED中，EA=2，AD=4，， 由余弦定理，得ED=． ∴ EA2+ED2=AD2， ∴ ED⊥AE． 又∵ ED∩CD=D， ∴ AE⊥平面DCE， 又面BAE， ∴ 平面BAE⊥平面DCE．   …………………………………………………12分 19. 已知函数f（x）=xlnx． （Ⅰ）设函数g（x）=，求g（x）的单调区间； （Ⅱ）若方程f（x）=t有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1+x2． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求导，根据函数的单调性导数的关系，构造辅助函数，求导h′（x）=1﹣（x＞0，且x≠1），则h（x）＞h（1）=0，则f′（x）＞0，即可求得g（x）的单调区间； （Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣），求导F′（x）=2+lnx（﹣x），根据函数单调性可知F（x）＞0，（0＜e＜），当0＜x1＜，得F（x1）=f（x1）﹣f（﹣x1）＞0，f（x）在（，+∞）上单调递增，故x2＞﹣x1，即可求证不等式成立． 【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x＞0，且x≠1），则g′（x）=（x＞0，且x≠1）， 设h（x）=x﹣lnx﹣1（x＞0，且x≠1），则h′（x）=1﹣（x＞0，且x≠1）， 当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； ∴h（x）＞h（1）=0， ∴当x＞0，且x≠1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴g（x）的单调递增区间（0，1），（1，+∞），无单调递增区间； （Ⅱ）证明：f′（x）=1+lnx，当0＜x＜，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）单调递减， 当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，+∞）上单调递增， 当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1，f（x）＞0， 设0＜x1＜x2＜1，构造函数F（x）=f（x）﹣f（x﹣）， 则F′（x）=f′（x）﹣f′（﹣x）=2+lnx（﹣x）， 当0＜x＜，x（﹣x）＜，则F′（x）＜0，F（x）在（0，）单调递减， 由F（）=0，故F（x）＞0，（0＜e＜）， 由0＜x1＜，得F（x1）=f（x1）﹣f（﹣x1）＞0， 则f（x1）=f（x2）＞f（﹣x1）， 又x2＞，﹣x1＞， ∴f（x）在（，+∞）上单调递增，故x2＞﹣x1， ∴x1+x2． 20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA． （Ⅰ）证明PC∥平面EBD； （Ⅱ）求二面角A—BE—D的余弦值．   参考答案： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG， ∵ ，又 ， ∴ ，∴ PC∥EG， 又EG平面EBD，PC平面EBD， ∴ PC∥平面EBD. ……………………………………………  6分 （Ⅱ）解法一： ∵ PB⊥平面ABCD， ∴ AD⊥PB. 又∵  AD⊥AB，∴ AD⊥平面EAB. 作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE， ∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角. 在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=， 由△ABE 的面积得：AH=， ∴  tan∠AHD==， 故 二面角A—BE—D的余弦值为.      ………………………………  12分 解法二： 建立如图所示的直角坐标系B—XYZ，设BC=a，则A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（a，0，0），=（3-a，3，0），=（3，3，