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湖北省荆州市文星中学2023年高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少子,”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
参考答案:
C
由题,得到橘子最少的人所得的橘子个数即为 则由题意,
解得
故选C.
2. 的值是________。
参考答案:
略
3. 下列说法中,正确的是( )
A.空集没有子集
B.空集是任何一个集合的真子集
C.空集的元素个数为零
D.任何一个集合必有两个或两个以上的子集
参考答案:
C
【考点】空集的定义、性质及运算.
【专题】应用题;集合思想;定义法;集合.
【分析】空集是任何集合的子集、是任何一个非空集合的真子集、空集不含有任何元素、只有1个子集,由此可得结论.
【解答】解:A:空集是任何集合的子集,即A不正确;
B:空集是任何一个非空集合的真子集,故B不正确;
C:空集不含有任何元素,故C正确;
D:空集只有1个子集,即D不正确.
故选C.
【点评】本题考查空集的概念,考查子集、真子集,属于基础题.
4. 已知集合A={2,4,5},B={1,3,5},则A∩B=( )
A. ? B. {1,2,3,4,5} C. {5} D. {1,3}
参考答案:
C
略
5. 幂函数的图象过点(),则的值为( )
A. B. C.2 D.-2
参考答案:
A
6. 已知全集)等于 ( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5}
参考答案:
A
7. 设,, ,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 设是三个互不重合的平面,是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,则
参考答案:
B
略
9. 我们知道,1个平面将空间分成2部分,2个平面将空间最多分成4部分,3个平面将空间最多分成8部分。问:4个平面将空间分成的部分数最多为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
参考答案:
C
10. 设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4),且⊥,∥,则|+|=( )
A. B. C.2 D.10
参考答案:
B
【考点】平行向量与共线向量;向量的模.
【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式,解出x、y的值求出向量的坐标,从而得到向量的坐标,再由向量模的公式加以计算,可得答案.
【解答】解:∵,且,
∴x?2+1?(﹣4)=0,解得x=2.
又∵,且,
∴1?(﹣4)=y?2,解之得y=﹣2,
由此可得,,
∴=(3,﹣1),
可得==.
故选:B
【点评】本题给出向量互相平行与垂直,求向量的模.着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=﹣x(x≥0)的最大值为 .
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义.
【专题】计算题;导数的概念及应用.
【分析】求出y′,讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可.
【解答】解:∵y=﹣x(x≥0),
∴y′=﹣1,
∴x∈(0,),y′>0,x∈(,+∞),y′<0,
∴x=时,函数y=﹣x(x≥0)的最大值为.
故答案为:.
【点评】考查学生求导数的能力,利用导数研究函数单调性的能力,利用导数求闭区间上函数最值的能力.
12. 若则 .
参考答案:
由条件得,∴ ;
13. 已知向量,,.若,则与的夹角为______.
参考答案:
70°
【分析】
由向量共线的运算得: =(λsin125°,λcos125°)(λ<0),由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°,由θ∈[0,180°],即可得解.
【详解】因为,.
又,
则不妨设=(λsin125°,λcos125°)(λ<0),
设与的夹角为θ,则cosθ===-sin200°=cos70°,由θ∈[0°,180°],所以θ=70°,
故答案为:70°
【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦,属中档题.
14. 给出下列命题:(1)存在实数x,使sinx+cosx=; (2)若是锐角△的内角,则>; (3)函数y=sin(x-)是偶函数; (4)函数y=sin2x的图象向右平移个单位,得到y=sin(2x+)的图象.其中正确的命题的序号是 .
参考答案:
(1)(2)(3)
略
15. 命题“”的否定是 __。
参考答案:
16. 若数列{an}是正项数列,且,则an=_______.
参考答案:
【分析】
有已知条件可得出,时,与题中的递推关系式相减即可得出,且当时也成立。
【详解】数列是正项数列,且
所以,即
时
两式相减得,
所以( )
当时,适合上式,所以
【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式,属于一般题。
17. 在等差数列中,若,,则的值为__________。
参考答案:
-3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 计算下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
参考答案:
解:(1)原式=-10(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
(3)原式=
19. (本题满分12分)
近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元)。
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
参考答案:
解:(1)当时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元…………………1分
所以总收益 =43.5(万元)…………………4分
(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元
所以…………………………7分
依题意得,解得
故…………………………………………8分
令,则
所以
当,即万元时,的最大值为44万元…………………………………11分
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元
………………………………………………………………………………………………12分
评分细则说明:1.函数定义域没写扣1分
20. 如图,四边形为梯形,,,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
参考答案:
略
21. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价(元/件),可近似看做一次函数的关系(如下图所示).
(1)根据图象,求一次函数的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,
①求S关于的函数表达式;
②求该公司可获得的最大毛利润,并求出相应的销售单价.
参考答案:
解:(1)由图象知,当x=600时,y=400,当x=700时,y=300,代入中,得,解得.
∴ ------------4分
(2)依题意得,
.------------10分
∴当时, ------------12分
答:该公司可获得的最大毛利润是62500元,相应的销售单价为750元.
22. 已知是定义在R上的奇函数,当时,,其中且.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
参考答案:
解:(1)因是奇函数,所以有,所以=0. (6分)
(2)当时,
(8分)
由是奇函数有,,
(10分)
(12分)
略
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