湖北省荆州市文星中学2023年高一数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市文星中学2023年高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少子,”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是(     ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 参考答案： C 由题，得到橘子最少的人所得的橘子个数即为 则由题意， 解得 故选C. 2. 的值是________。 参考答案： 略 3. 下列说法中，正确的是(     ) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．空集的元素个数为零 D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 参考答案： C 【考点】空集的定义、性质及运算． 【专题】应用题；集合思想；定义法；集合． 【分析】空集是任何集合的子集、是任何一个非空集合的真子集、空集不含有任何元素、只有1个子集，由此可得结论． 【解答】解：A：空集是任何集合的子集，即A不正确； B：空集是任何一个非空集合的真子集，故B不正确； C：空集不含有任何元素，故C正确； D：空集只有1个子集，即D不正确． 故选C． 【点评】本题考查空集的概念，考查子集、真子集，属于基础题． 4. 已知集合A={2，4，5}，B={1，3，5}，则A∩B=（　　） A. ?        B. {1，2，3，4，5}        C. {5}        D. {1，3} 参考答案： C 略 5. 幂函数的图象过点(),则的值为（　　） A． B． C．2         D.-2 参考答案： A 6. 已知全集）等于 （    ）     A．{2，4，6}      B．{1，3，5}      C．{2，4，5}      D．{2，5} 参考答案： A 7. 设，， ，则（    ） A、     B、       C、      D、 参考答案： A 8. 设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则        B．若，，，则 C．若，，则      D．若，，，则 参考答案： B 略 9. 我们知道，1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间最多分成4部分，3个平面将空间最多分成8部分。问：4个平面将空间分成的部分数最多为（    ） A．13        B．14         C．15     D．16 参考答案： C 10. 设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（　　） A． B． C．2 D．10 参考答案： B 【考点】平行向量与共线向量；向量的模． 【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案． 【解答】解：∵，且， ∴x?2+1?（﹣4）=0，解得x=2． 又∵，且， ∴1?（﹣4）=y?2，解之得y=﹣2， 由此可得，， ∴=（3，﹣1）， 可得==． 故选：B 【点评】本题给出向量互相平行与垂直，求向量的模．着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识，属于基础题． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y=﹣x（x≥0）的最大值为　　． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】求出y′，讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可． 【解答】解：∵y=﹣x（x≥0）， ∴y′=﹣1， ∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0， ∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为． 故答案为：． 【点评】考查学生求导数的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力． 12. 若则            . 参考答案： 由条件得，∴  ； 13. 已知向量，，．若，则与的夹角为______． 参考答案： 70° 【分析】 由向量共线的运算得： =（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解． 【详解】因为，． 又， 则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0）， 设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°， 故答案为：70° 【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题． 14. 给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝;  (2)若是锐角△的内角，则>;  (3)函数y＝sin(x-)是偶函数；  (4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+)的图象.其中正确的命题的序号是            . 参考答案： (1)(2)(3) 略 15. 命题“”的否定是　　　　　　　　　　　__。 参考答案： 16. 若数列{an}是正项数列，且，则an=_______． 参考答案： 【分析】 有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立。 【详解】数列是正项数列，且 所以，即 时 两式相减得， 所以（ ） 当时，适合上式，所以 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题。 17. 在等差数列中，若，，则的值为__________。 参考答案： -3  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 参考答案： 解：(1)原式＝-10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. （2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝   19. （本题满分12分） 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）。 （1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？   参考答案： 解：（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元…………………1分 所以总收益 =43.5（万元）…………………4分 （2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元 所以…………………………7分 依题意得，解得 故…………………………………………8分 令，则 所以 当，即万元时，的最大值为44万元…………………………………11分 所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元 ………………………………………………………………………………………………12分 评分细则说明：1.函数定义域没写扣1分   20. 如图，四边形为梯形，，，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。 参考答案： 略 21. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价（元/件），可近似看做一次函数的关系（如下图所示）.    （1）根据图象，求一次函数的表达式；    （2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元, ①求S关于的函数表达式； ②求该公司可获得的最大毛利润，并求出相应的销售单价.                 参考答案： 解：（1）由图象知，当x=600时，y=400，当x=700时，y=300，代入中，得，解得. ∴      ------------4分 (2)依题意得， .------------10分 ∴当时，       ------------12分 答：该公司可获得的最大毛利润是62500元，相应的销售单价为750元.   22. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中且. （1）求的值； （2）求的解析式；  参考答案： 解：（1）因是奇函数，所以有，所以=0.  （6分） （2）当时，                                                    （8分） 由是奇函数有，，                                          （10分）                           （12分）    略