湖北省荆州市江陵县川店镇中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市江陵县川店镇中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角的终边过点，则(   )      参考答案： D 略 2. 如图是导函数的图像，则下列命题错误的是                       A．导函数在处有极小值 B．导函数在处有极大值 C．函数处有极小值 D．函数处有极小值 参考答案： C 略 3. 若，则（   ） A． B．C． D． 参考答案： D 4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题： ①当x＞0时，f（x）=ex（1﹣x）； ②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； ③函数f（x）有2个零点； ④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2， 其中正确命题的个数是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 参考答案： 考点： 命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合． 分析： 逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围． 解答： 解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）=e﹣x（﹣x+1），所以f（x）=e﹣x（x﹣1），故①错误； 因为当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正确； 令ex（x+1）=0可解得x=﹣1，当e﹣x（x﹣1）=0时，可解得x=1，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（0）=0，故函数的零点由3个，故③错误； ④x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正确，因为当x＞0时f（x）=e﹣x（x﹣1），图象过点（1，0），又f′（x）=e﹣x（2﹣x）， 可知当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，，f′（x）＜0，故函数在x=2处取到极大值f（2）=，且当x趋向于0时，函数值趋向于﹣1，当x趋向于+∞时，函数值趋向于0， 由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f（x）的图象， 可得函数﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立． 综上可得正确的命题为②④， 故选B 点评： 本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题． 5. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ） A．若,,,则    B．若,,,则 C．若,,,则    D．若,,,则 参考答案： D 6. 在等差数列 中，若“ ，则     A．         B．         C.1           D． -1 参考答案： A 略 7. 已知随机变量，若，则 A．    B．   C．       D． 参考答案： C 考点：正态分布 由题知： 故答案为：C 8. 已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（   ） A．1               B．0              C．           D． 参考答案： A 9. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A. (－∞,－1) B. (－1,0) C. [－1,0) D. (－∞,0) 参考答案： B 【分析】 根据二次函数的图象，可知，可求的取值范围. 【详解】若满足， 则需满足  ， 解得：. 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型. 10. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　） ．                ．      ．               ． 参考答案： A 由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1. ∴原几何体的体积为,选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为__ 参考答案： 略 12. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是  ▲  . 参考答案： 13. 在等差数列中，，其前项和为， 若，则 的值等于             . 参考答案：   -2013 略 14. 直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是       ． 参考答案： 2 考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：直线与圆． 分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值． 解答： 解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）， ∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ， ∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1， ∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分 化直线l的参数方程  （t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分 ∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分 要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d， 由勾股定理求得切线长的最小值为  ==2． 故答案为：2． 点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 15. （4分）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有　　种． 参考答案： 141 考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：计算题． 分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果． 解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法， 其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉， ∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种． 故答案为 141． 点评： 本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏． 16. 已知椭圆的面积计算公式是，则_____； 参考答案： 略 17.  若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是        . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （I）求小波参加学校合唱团的概率； （II）求的分布列和数学期望. 参考答案： 略 19. 在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为  （t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 参考答案： 略 20. 已知函数，其中a为常数． （1）若直线是曲线的一条切线，求实数a的值； （2）当时，若函数在[1,+∞)上有两个零点．求实数b的取值范围． 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）设切点， 由题意得，解方程组即可得结果；（2）函数在上有两个零点等价于，函数 的图象与直线有两个交点，设，利用导数可得函数在处取得极大值，结合，，从而可得结果. 【详解】（1）函数的定义域为，， 曲线在点处的切线方程为. 由题意得 解得，.所以的值为1. （2）当时，，则， 由，得，由，得，则有最小值为，即， 所以，， 由已知可得函数 的图象与直线有两个交点， 设， 则， 令，， 由，可知，所以在上为减函数， 由，得时，，当时，， 即当时，，当时，， 则函数在上为增函数，在上为减函数， 所以，函数在处取得极大值， 又，， 所以，当函数在上有两个零点时，的取值范围是， 即. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 21. 已知函数的最小正周期为.    （1）求的单调递增区间；    （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足，求函数的取值范围. 参考答案： 解：（1） …………2分 ∵  …………4分 ∴的单调递增区间为  …………6分 （2）∵  ∴  …………8分  ……10分 ∵ ∴    …………12分 略 22. （本题满分13分） 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若b =2，且，求边长a的取值范围． 参考答案： 解:(1) 由正弦定理得           ………………2分   即， 化简可得                                           ………4分 又，所以 因此                                                                          ………………6分 （2）由（1）得，可得 ①                                ………8分 由角B为最小角可得，即       ②          ………………10分 由余弦定理得，把①代入可得                                                                         ………………12分 代入②式，解得                                                ………………14分