湖北省武汉市第六十中学2023年高二数学理联考试题含解析

湖北省武汉市第六十中学2023年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设 表示两条直线，表示两个平面，下列命题中正确的是（     ）     A. 若，，则        B．若，，则    C．若，，则    D．若，，则 参考答案： C 略 2. 已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值为（　　） A． B． C．5 D．13 参考答案： B 【考点】平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算． 【分析】根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模． 【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且， 则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4． 所以， 则=（﹣2，3）． 所以=． 故选B． 3. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 A．                  B．                 C．                 D． 参考答案： D 4. 已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 参考答案： D 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a?=5，由此解得a的值． 【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5） 展开式中x2的系数为+a?=5，解得a=﹣1， 故选：D． 5. P为△ABC所在平面外的一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题①PA⊥BC ② PB⊥AC ③PC⊥AB ④AB⊥BC，其中正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： A 略 6. 已知，，若∥，则的值是(      ) A、1             B、－1           C、4              D、－4 参考答案： D 略 7. 函数的定义域是 （   ） A.       B.        C.      D. 参考答案： D 略 8. 如图，设向量=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且μ≥λ≥1，则用阴影表示C点的位置区域正确的是（　　） 参考答案： C 略 9. 设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（　　） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 参考答案： A 【考点】26：四种命题的真假关系． 【分析】根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题． 【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题 所以原命题是真命题 逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时 a+b=0，故逆命题是假命题 故选A 10. 不等式的解集是 (A)       (B)   (C)       (D)  参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高x（cm） 160 165 170 175 180 体重y（kg） 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程：=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为　　． 参考答案： 70.12kg 【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计． 【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，得到线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重． 【解答】解：由表中数据可得==170，==69， ∵（，）一定在回归直线方程y=0.56x+a上， ∴69=0.56×170+a， 解得a=﹣26.2 ∴y=0.56x﹣26.2， 当x=172时，y=0.56×172﹣26.2=70.12． 故答案为：70.12kg． 【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．利用线性回归方程预测函数值，题目的条件告诉了线性回归方程的系数，省去了利用最小二乘法来计算的过程．属于基础题． 12. 已知，则的最小值是            。 参考答案： 4； 13. 某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示： 价格x（元） 9 9.5 10 10.5 11 销售量y（件） 11 a 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a=　     　． 参考答案： 10 【考点】两个变量的线性相关． 【分析】根据回归直线过样本中心点（，），求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可． 【解答】解：根据题意得， ==10， ==+6， 因为回归直线过样本中心点（，）， 所以+6=﹣3.2+4a， 解得a=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目． 14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米． 参考答案： 2 【考点】抛物线的应用． 【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案． 【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my， 将A（2，﹣2）代入x2=my， 得m=﹣2 ∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=， 故水面宽为2m． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力． 15. 化简：（sinα+cosα）2=（　　） A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα 参考答案： A 【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】把（sinα+cosα）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果． 【解答】解：∵（sinα+cosα）2 =1+2sinαcosα=1+sin2α， 故选：A． 16. 中，若三边a、b、c成等比数列，且，则        ． 参考答案： 略 17. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是________． 参考答案：     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在直线上． （1）若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程； （2）当圆心在直线上移动时，求点到圆上的点的最短距离． 参考答案： 解：(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为 ∴圆的方程为: 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即 ∴∴∴∴或者 ∴所求圆C的切线方程为:或者         (2) 当圆心在直线上移动时，点到圆心的最短距离为            则点到圆上的点的最短距离为 略 19. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．    参考答案： 解　f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＝0，即－3x2＋6x＋9＝0， 解得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当x变化时， f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,2) 2 f′(x) － － 0 ＋ ＋ f(x) 2＋a ↘ －5＋a ↗ 22＋a 由此得f(2)，f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(2)＝22＋a＝20，∴a＝－2， 从而得函数f(x)在[－2,2]上的最小值为f(－1)＝－5＋a＝－7. 略 20. 已知直线过点且与直线平行，直线过点且与直线垂直． （Ⅰ）求直线，的方程． （Ⅱ）若圆与，，同时相切，求圆的方程． 参考答案： 见解析 解：（）设，将代入得，， 故， 设，将代入得， 故． （） 联立，解得，， 联立，解得，， 所以圆心坐标为或． 又到的距离， ∴． 故与，，都相切的圆的方程为或． 21. （本小题满分14分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 参考答案： 略 22. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：求： （1）根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数. （2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重. （3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？ 参考答案： （1）40；（2）65.2kg；（3）P=0.28 【分析】 （1）根据频率直方图的性质，即可求解这100名学生中体重在（56，64）的学生人数； （2）根据频率分布直方图中样本的平均数的计算公式，即可求解； （3）根据频率分布直方图的性质，即可求得样本数据中低于62kg的频率。 【详解】（1）根据频率直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为： （人）； （2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是： 即利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重是65.2kg； （3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg的频率是 ， ∴这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg的概率是． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。