湖北省荆州市沙市第四中学2022年高一数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市沙市第四中学2022年高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值是________。 参考答案： 略 2. 函数的最小值为（    ） A．0         B．       C．         D． 参考答案： C ， 所以函数的最小值为.   3. 如右图程序运行后输出的结果为 A．3  4  5  6      B．4  5  6  7    C．5  6  7  8     D．6  7  8  9   参考答案： A 略 4. 已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，] D．[，2） 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】由已知条件推导出对任意实数x，函数f（x）=是增函数，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵对任意实数x1≠x2，都有＞0成立， ∴对任意实数x，函数f（x）=是增函数， ∵a＞0且a≠1， ∴，∴1＜a．∴a的取值范围是（1，]． 故选：C． 5. 已知函数f（x）=loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（　　） A．（1，4） B．（1，4] C．（1，2） D．（1，2] 参考答案： C 由题意可得 的对称轴为 ， ①当 时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且在[4,5]恒成立，则，∴ ② 时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且在[4,5]恒成立，则，此时不存在，综上可得，故选C．   6. 函数f（x）=的最大值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义． 【专题】计算题． 【分析】把分母整理成=（x﹣）2+进而根据二次函数的性质求得其最小值，则函数f（x）的最大值可求． 【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥， ∴f（x）=≤，f（x）max=． 故选D 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．解题的关键把分母配方成一元二次函数的形式． 7. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（   ）    A．         B．      C．        D． 参考答案： D 略 8. 若,那么满足的条件是（   ） A．       B．      C．      D． 参考答案： B 9. （5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（） A． {y|0＜y＜} B． {y|0＜y＜1} C． {y|＜y＜1} D． ? 参考答案： A 考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可． 解答： ∵集合A={y|y=log2x，x＞1}， ∴A=（0，+∞） ∵B={y|y=（）x，x＞1}， ∴B=（0，） ∴A∩B=（0，） 故选A． 点评： 本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域． 10. 已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足 ，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 参考答案： B 【考点】向量的加法及其几何意义． 【分析】由 ，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出． 【解答】解：∵ ， ∴ = =， ∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点， ∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==， 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线，，若，则=       . 参考答案： 2 12. 函数的最小值为_____________. 参考答案： 5 略 13. 已知||＝||＝2，(＋2)·(－)＝－2，则与的夹角为________． 参考答案： 14. 已知集合U={2，4，5，7，8}，A={4，8}，则?UA=　   　． 参考答案： {2，5，7} 【考点】补集及其运算． 【分析】由全集U及A，求出A的补集即可． 【解答】解：∵U={2，4，5，7，8}，A={4，8}， ∴?UA={2，5，7}， 故答案为：{2，5，7}． 15. 已知幂函数的图象经过点（9， ），则___________. 参考答案： 略 16. 已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值是        ． 参考答案： 6 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由y=f（x﹣1）为偶函数，可知函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数f（x）定义域的两端点关于﹣1对称． 【解答】解：由y=f（x﹣1）是偶函数，可知y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称 故有， 解得a=6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义，函数图象的平移变换法则，难度不大，属于基础题． 17. 直线与圆相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知：关于的方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     （2）若方程的一个根是，求另一个根及值． 参考答案： 解析：（1）， ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     无论取何值，，所以，即， 方程有两个不相等的实数根． （2）设的另一个根为， 则，， 解得：，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     的另一个根为，的值为1． 19. 已知，、 (1)求的值． (2)求的值； 参考答案： 解：由已知得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角， ∴sinα＝＝，sinβ＝＝. ∴tanα＝7，tanβ＝. (1) (2) ＝＝＝－3.   略 20. （本小题满分14分）,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且. (1)求数列,的通项公式; (2)记=,求证数列的前项和小于2. 参考答案： (1)由.且得   …………   2分 ,          ……………  4分 在中,令得当时,T=, 两式相减得,     …………… 6分 .                ……………   8分 (2), ………………     9分 ,,                                     ……………  10分 =2 =,        ………………13分        ……………    14分      略 21. 为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组． A组：128 100 151 125 120 B组：100 102 97 101 100 （Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率； （Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．. 【分析】 （Ⅰ）先求出从，两组数据中各随机抽取一个数据，不同的取法的种数，在求出两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的种数，最后利用古典概型计算公式，求出概率； （Ⅱ）可以通过数据的波动情况判断出方差的大小，最后得出结论. 【详解】（Ⅰ）解：从，两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有种． 从组中取到时，组中符合题意的取法为， 共种； 从组中取到时，组中符合题意的取法为， 共种； 因此符合题意的取法共有种， 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率. （Ⅱ）解：组数据的方差小于组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障． 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，考查了用方差解决实际问题的能力. 22. 在公差不为0的等差数列{an}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数列，又数列{bn}满足bn=． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和为Tn； （3）令cn=（n∈N*），求使得cn＞10成立的n的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设数列{an}公差为d，由题设得：，，，a1+3d=，解出即可得出． （2）由（1）知：bn=，k∈N*．对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． （3）由（2）知，cn==，可得=＞1，利用其单调性即可得出． 【解答】解：（1）设数列{an}公差为d，由题设得：，， 即，a1+3d=，   解得a1=d=1． ∴数列{an}的通项公式为：an=1+（n﹣1）=n． （2）由（1）知：bn=，k∈N*． ①当n为偶数，即n=2k时，奇数项和偶数项各项， ∴Tn=（4+8+…+2n）+（2+23+…+2n﹣1） =+=++n﹣． ②当n为奇数，即n=2k﹣1时，n+1为偶数． ∴Tn=Tn+1﹣an+1=++（n+1）﹣﹣2（n+1）=+﹣． 综上：Tn=，k∈N*． （3）由（2）知，cn==， ∵==＞1， ∴数列{cn}是递增数列． ∵c4=8，c5=＞10， ∴使得cn＞10成立的n的取值范围为n≥5，n∈N*．