湖北省武汉市蔡甸区第二高级中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省武汉市蔡甸区第二高级中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，则（   ） A．              B．               C．          D． 参考答案： D 考点：1、集合的表示；2、集合的运算. 2. 若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是 （A）3         （B）4 （C） 5        （D）6 参考答案： A 3. 参考答案： A 4. 已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】先根据命题的否定，得到￢p和￢q，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可． 【解答】解：p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列， 则￢p：?n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列， 由￢p?￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列， 若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d， 即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立． 5. （5分）（2013?兰州一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，则集合N∩（?UM）等于（　　） 　 A． {1，2，3，4} B． {1，4，5，6} C． {1，4，5} D． {1，4} 参考答案： D 略 6. 已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（　 　） A．     Ｂ． Ｃ．   D．  参考答案： A 7. 已知集合，，那么（    ） A.               B.               C.             D. 参考答案： A 8. 函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 （   ） (　　)．     A．(1,3)         B．(1,2)        C．(0,3)         D．(0,2) 参考答案： 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】C  由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得：0＜a＜3， 故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：C 【思路点拨】由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围． 9. 由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为 A.           　　B.            　  C.             　 D.   参考答案： D  ：平面区域，为三角形AOB，面积为×2×2＝2， 平面区域，为四边形BDCO， 其中C（0，1），由，解得，即则三角形ACD的面积S=×1×=，则四边形BDCO的面积S=S△OAB?S△ACD＝2?=， 则在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为，故选：D． 10. 若存在实数x，y使不等式组与不等式都成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 参考答案： B 由题意作出其平面区域，表示了直线上方的部分， 故由，解得x=3，y=3， 所以3-3×2+m≤0，解得m≤3. 本题选择B选项. 点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为__________． 参考答案： ∵圆心在上， ∴设圆心坐标为． ∵与和都相切， ∴，解得，， ∴的方程为． 12. 某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为         ． 参考答案： 20 略 13. 已知复数z=，则z=          ． 参考答案： ﹣1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘除法运用，即可得出结论． 【解答】解：复数z====﹣1﹣i， 故答案为：﹣1﹣i． 【点评】本题考查复数的乘除法运用，考查学生的计算能力，比较基础． 14. （5分）若函数则不等式的解集为　　． 参考答案： [﹣3，1] 【考点】： 其他不等式的解法． 【专题】： 计算题；压轴题；转化思想． 【分析】： 先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集． 解：①由． ②由． ∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1， 故答案为：[﹣3，1]． 【点评】： 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算． 15. 已知，则的值为         ． 参考答案： ． 试题分析：先由得，；然后依据倍角公式及三角函数的恒等变形可得， ；然后将的值代入即可得，． 考点：三角函数的恒等变形；倍角公式；三角函数的诱导公式． 16. 已知函数则的值为          ． 参考答案： 4 17. 若平面向量与方向相反，且，则的坐标为　　． 参考答案： （1，﹣2） 【考点】向量的模． 【分析】平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据，解得k． 【解答】解：平面向量与方向相反， 设=k（﹣1，2），（k＜0）， ∵，∴=，解得k=﹣1． 则=（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 等差数列中，，前7项和 （1）求数列的公差d； （2）等比数列中，，求数列的前n项和 参考答案： （1）   …………4分 ∴  …………5分   又∵，∴   ……6分 （2）由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，   ∴   ………………8分    ∴     …………10  分    ∴数列的公比    ………………12分 ∴ ………………14分 19. （本小题12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角的大小；  （Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求 参考答案： 解：（Ⅰ）∵，∴． 即． ∴．…………………….2分  则，∴，因为则．………….4分 （Ⅱ）由（1）知，所以，， 在中由余弦定理得  即 解得                  ……….8分 故               …12分 20. （12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a． （1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域； （2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 计算题． 分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域． （2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值． （3）令 h（x）==﹣，通过 h′（x）= 的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ． 解答： 解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]， 当x=1时，；当x=3时，， 故g（x）值域为． （2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．                                   ①若 ，t无解；                       ②若 ，即时，；     ③若 ，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt， 所以 f（x）min=．        （3）证明：令 h（x）==﹣，h′（x）=， 当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时． h′（x）＜0，h（x）是减函数， 故h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣， 且当h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0， 故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ． 点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题． 21. (本小题13分) 已知椭圆的离心率为， 且直线 是抛物线的一条切线。 (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线交椭圆于A、B两点，试问：在直角坐标平面上 是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案： （I）由得 直线是抛物线的一条切线。所以 所以椭圆 …………………………5分 （Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为 当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为 所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T为点（0，1）.…………8分 证明如下。当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1） 当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为： 由得设则 所以，即以AB为直径的圆过点（0，1） 所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T. ……………………13分 22. （本小题共13分） 在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点． （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由. 参考答案： 解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3分 故曲线的方程为． …………………………………………………5分 （Ⅱ）存在△面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）． 则 整理得 ．…………………………………7分 由． 设． 解得  ，  ． 则 ． 因为       ． ………………………10分 设，，． 则在区间上为增函数． 所以． 所以，当且仅当时取等号，即． 所