湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学理测试题含解析

湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴=（2πr）2h， ∴π=． 故选：B． 2. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（    ）        A．                      B．                      C．                 D． 参考答案： D 略 3. 某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（    ）                 参考答案： C 4. 如图，将半径为l的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部    分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 (A)            (B)           (C)            (D) 参考答案： A 5. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若则等于     A．80               B．30               C．26               D．16 参考答案： B 6. 已知复数在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则实数a=(　　) (A)　　 (B) 　   (C) 1　　　(D) -1 参考答案： B 略 7. 已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（　　） A．240 B．260 C．320 D．﹣320 参考答案： C 【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】把cosx﹣sinx提取，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos（x+）的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f（7），根据f（x）的图象关于直线x=3对称，得到f（3+x）=f（3﹣x），即可推出f（7）=f（﹣1）可求出值． 【解答】解：∵，∴cos（x+）=，得cos（x+）=， 又∵sin2x=﹣cos（+2x）=1﹣2cos2（x+）= ∴=f（7） 由题意y=f（x）关于直线x=3对称 ∴f（3+x）=y=f（3﹣x） 即f（7）=f（3+4）=f（3﹣4）=f（﹣1）=320， 故选C． 8. 已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　） A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值． 【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°=， 再利用点到直线的距离公式可得=， ∴a=±1， 故选：C． 9. 函数的定义域为（    ） A．    B．[－2,+∞)    C．    D．(－2,+∞) 参考答案： A 10. 为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入 A.   B.   C. D. 参考答案： B 根据框图，，故选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 双曲线C：x2 – y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________． 参考答案： 抛物线的准线方程为，当时，。由得，,所以，解得，所以双曲线C的方程为。 12. 定义在R上的奇函数，当时, 则函数的所有零点之和为_____． 参考答案： 【分析】 函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案． 【详解】∵当x≥0时， f（x）＝ 即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 画出x≥0时f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示； 则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）＝（﹣x+1）， 又f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a， 解得x＝1﹣2a， ∴所有根的和为1﹣2a． 故答案为：1﹣2a． 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．   13. 已知数列{an}满足，则{an}的前50项的和为　　． 参考答案： 1375 【考点】8E：数列的求和． 【分析】由当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．an=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）nn2+（﹣1）n×4n，S50=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50），即可求得{an}的前50项的和． 【解答】解：当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1． 则an=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）nn2+（﹣1）n×4n， {an}的前50项的和S50=a1+a2+a3+…+a50， =（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50）， =（1+2+3+4+…+50）+4×25， =1275+100， =1375， 故答案为：1375 【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列前n项和的求法，考查计算能力，属于中档题． 14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为           . 参考答案： 15. 幂函数在上增函数，则m=            参考答案： 3 16. 已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z =? 2 ? 3，则z ?     ▲    ． 参考答案： 试题分析：设，则 考点：复数相等 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 17. 在平面四边形 中， ， ， ， ， 的面积为 ，则           ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示： （1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB； （2）已知每件产品的利润如表一所示，用、分别 表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下， 求、的分布列及数学期望（均值）、；    （3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设、分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求、为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 参考答案： （本小题满分14分） 解：(1)  由茎叶图知 ；……………………………2分              . ……………………………4分   （2）随机变量、的分布列是 4 3 P 0.68 0.32 3 2 P 0.71 0.29                                                          ……………6分      ∴ ，. ………8分   （3）由题设知，目标函数为 ， ………………………10分       作出可行域如图所示…………………12分       作直线l：，            将向l右上方平移至l1位置时，即直线经过可行域上的点M时，取最大值.       解方程组，得，， 即，时，取最大值，最大值是22.85.  …………………………14分 略 19. （本小题满分12分） 设P为椭圆 +=1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l：y=kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y=x上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值． 参考答案： （1）（2） 【知识点】椭圆的简单性质．H5 解析：（1）根据题意，可得2a=PF1|+|PF2|=4，所以a=2， 又c=ae==，所以b===， 所以椭圆的方程为：； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc）， 将直线l：y=kx+m代入方程， 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0            （*） 由韦达定理可知xc==， 从而yc=kxc+m=， 又线段AB的中点C的直线y=x上， 所以=，解得k=﹣1， 则（*）变为3x2﹣4mx+2m2﹣4=0， 所以|AB|==， 则△OAB底边AB的高h=，所以S=， ∵（6﹣m2）m2≤， ∴S，即S得最大值为． 【思路点拨】（1）根据题意，计算出a、b的值即可；（2）联立直线l与椭圆方程消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理可得C（xc、yc），再将其代入所在直线y=x上，可解得k=﹣1，故可化简关于x的一元二次方程，从而得到关于S的表达式，再结合不等式即可得到最大值． 20. （本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的图像在点处的切线方程； （Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值。 参考答案： 解：（Ⅰ）因为，所以， 函数的图像在点处的切线方程； （Ⅱ）解： 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以方程在上存在唯一实根，且满足， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故．故整数的最大值是3 略 21.  已知函数有最小值． (1）求实常数的取值范围； (2）设为定义在上的奇函数，且当时，，