湖北省荆门市京山县曹武中学2023年高一数学理期末试题含解析

湖北省荆门市京山县曹武中学2023年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为等比数列，，则=（      ）         A．         B．       C．      D． 参考答案： C 2. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为                                                               （   ）        A．63.6万元       B．65.5万元       C．67.7万元       D．72.0万元 参考答案： B 3. 函数的图象是 参考答案： B 令，令.所以图像过点. 4. 方程log3x+x=3的解所在的区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】可构造函数f（x）=log3x+x﹣3，方程log3x+x=3的解所在的区间是函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在的区间，由零点存在的定理对四个选项中的区间进行验证即可． 【解答】解：构造函数f（x）=log3x+x﹣3，方程log3x+x=3的解所在的区间是函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在的区间， 由于f（0）不存在，f（1）=﹣2，f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=1＞0 故零点存在于区间（2，3） 方程log3x+x=3的解所在的区间是（2，3） 故选C 【点评】本题考查函数零点的判定定理，求解本题的关键是将方程有根的问题转化为函数有零点的问题从而利用零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，即得函数的解所在的区间．解题时根据题设条件灵活转化，可以降低解题的难度．转化的过程就是换新的高级解题工具的过程． 5. 函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为                 A．          B. C.    D. 参考答案： D 6. 客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（   ）              A.                B.                   C.                D. 参考答案： B 7. 设，若，则（     ） A． -2        B． -5      C.  -7       D．4 参考答案： C 令 为奇函数 又 故选C.   8. （3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（） A． B． 2 C． D． 2 参考答案： B 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 计算题． 分析： 过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可． 解答： 由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小， 则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2， 即|OP|的最小值为2． 故选B． 点评： 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．解答本题的关键是找到|OP|的最小时即OP垂直与已知直线． 9. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD，则在折叠过程中，不能出现（ ） A．         B．平面平面       C.          D． 参考答案： D 10. 已知，则 （　　） （A）              （B） （C） （D） 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个容量为的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25 ，则      参考答案： 120 12. 已知函数内有零点，内有零点，若m为整数，则m的值为         　    参考答案： 4 略 13. 已知f（x）=，x∈（-∞，-2]，则f（x）的最小值为       ． 参考答案： ﹣ 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】计算题． 【分析】先求函数的导函数，然后判定导函数在区间上的符号，得到函数在上的单调性，从而求出最值． 【解答】解：∵f（x）=，x∈（-∞，-2]， ∴f′（x）=﹣＜0 即在（-∞，-2]上单调递减则f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣ 故答案为：﹣ 【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 14. 若直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，则这两条平行线间的距离为　   　． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；直线与圆． 【分析】直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行，可得﹣2=，解得a．再利用两条平行线间的距离公式即可得出． 【解答】解：∵直线2x+y+4=0与ax+2y﹣2=0平行， ∴﹣2=，解得a=4． ∴ax+2y﹣2=0化为：2x+y﹣1=0， ∴这两条平行线间的距离==． 故答案为：． 【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=　　． 参考答案： ﹣14 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论． 【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}， ∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0， 由韦达定理可得， 解得a=﹣12，b=﹣2， ∴a+b=﹣14． 故答案为：﹣14． 16. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围是          ． 参考答案： [0，4） 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用． 【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案． 【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣k有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有三个不同的交点， 作出函数f（x）的图象如图： 由二次函数的知识可知，当x=﹣2时，抛物线取最高点为4， 函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当k∈[0，4）时， 两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点， 故答案为：[0，4）． 【点评】本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题． 17. 已知，，用 “二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是        . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数f（x）=aX，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g[（a﹣1）x+2]． （1）求h（x）的定义域； （2）当x∈[3，4]时，h（x）＞0恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据对数的意义得出（a﹣1）x＞﹣2，且a≠1，分类讨论求解不等式即可． （2）f（x）有意义得：，解得：a，根据函数的单调性分类讨论当时，②当a＞1时，求解即可． 解答： （1）∵函数f（x）=aX，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称 ∴g（x）=logax， ∵h（x）=g[（a﹣1）x+2]． ∴h（x）=loga（（a﹣1）x+2）， ∵（a﹣1）x+2＞0， ∴（a﹣1）x＞﹣2，且a≠1， ①当a﹣1＞0，即a＞1时，x， 定义域为（，+∞）， ②当，即0＜a＜1时，x， 综上；当a＞1时，定义域为（，+∞）， 0＜a＜1时，定义域为（﹣∞，） （2）当x∈[3，4]时，f（x）有意义得：， 解得：a， ①当时， 由h（x）＞0恒成立得：（a﹣1）x+2＜1，在x∈[3，4]上恒成立， ∴a恒成立，∴a ∴， ②当a＞1时， 由h（x）＞0恒成立得：：（a﹣1）x+2＞1，在x∈[3，4]上恒成立， ∴a， ∴a＞1， 综上：a∈（）∪（1，+∞）． 点评： 本题综合考查了函数的性质，运用最值，单调性求解不等式的恒成立问，属于中档题，难度不大． 19. 已知二次函数，满足，且的最小值为． （1）若函数为奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）设，若在上是减函数，求实数的取值范围．   参考答案： （1）      （2） 略 20. 已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角． （1）求的值； （2）求cosα+sinα的值． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值． 【分析】（1）利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可． （2）利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可． 【解答】解：∵2x2﹣x﹣1=0，∴，∴或tanα=1，又α是第三象限角，… （1）．… （2）∵且α是第三象限角，∴，∴… 【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 21. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，，，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点． （1）证明：平面EFG∥平面BCD； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的大小． 参考答案： （1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】 (1)分别证明平面，平面得到两平面平行. (2)将转化为，通过体积公式得到答案. (3)首先判断是二面角的平面角，在中，利用边角关系得到答案. 【详解】（1）证明：因为分别为的中点， 又有平面，平面，所以平面 同理：平面 平面，平面，所以平面平面 （2）解：因为，所以 因为平面平面，平面平面，，平面 所以平面 ，为中点，所以 所以三棱锥的体积为 （3）因为，为中点，所以， 同理，平面，平面 所以是二面角的平面角 平面平面，平面平面，平面，， 则平面 平面，所以 在直角三角形中，，则，所以二面角的大小为 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理,考查了三棱锥体积的求法,考查了二面角平面角的求法.考查了学生数学抽象、数逻辑推理的能力 22. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式 （2）解关于的不等式 参考答案： （1），  ……….2分     …..4分 …….6分 （2）由（1）得等价于 或或 解得或或 ……………12分 略