湖北省荆州市芦陵中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 复数（i为虚数单位）的虚部是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数=﹣﹣i，虚部为﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
参考答案：
B
3. 下列说法错误的是( )
A．如果命题“?p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题 “若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：?x0∈R，x02＋2x0－3<0，则?p：?x∈R，x2＋2x－3≥0
D．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
参考答案：
D
略
4. 下列说法中，错误的是 （ ）
A．命题“若”的逆否命题为“若”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．对于命题
D．若为假命题，则p，q均为假命题
参考答案：
D
略
5. 容量为100的样本，其数据分布在[2,18]，将样本数据分为4组：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是( )
A.样本数据分布在[6,10)的频率为0.32
B.样本数据分布在[10,14)的频数为40
C.样本数据分布在[2,10)的频数为40
D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)
参考答案：
D
6. 若，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720
C．1440 D．5040
参考答案：
B
无
8. 曲线在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
参考答案：
D
略
9. 下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．是的充分不必要条件 D．若,则
参考答案：
C
10. 在四面体中，，以下判断错误的是（ ）
A．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直
B．该四面体的外接球球心和内切球球心重合
C．该四面体的各面是全等的锐角三角形
D．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
参考答案：
D
：如图，把该四面体补成一个长方体，四面体的棱是长方体上的对角线，由长方体的性质知、、都正确，因此只有错误，故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 ．
参考答案：
（﹣，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的焦点为F（﹣1，0）、准线为x=1．设点P在准线上的射影为Q，根据抛物线的定义得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面几何知识得当A、P、Q三点共线时，这个距离之和达到最小值，此时P点的纵坐标为1，利用抛物线方程求出P的横坐标，从而可得答案．
【解答】解：由抛物线方程为y2=﹣4x，可得2p=4， =1，
∴焦点坐标为F（﹣1，0），准线方程为x=1．
设点P在准线上的射影为Q，连结PQ，
则根据抛物线的定义得|PF|=|PQ|，
由平面几何知识，可知当A、P、Q三点共线时，
|PQ|+|PA|达到最小值，此时|PF|+|PA|也达到最小值．
∴|PF|+|PA|取最小值，点P的纵坐标为1，
将P（x，1）代入抛物线方程，得12=﹣4x，解得x=﹣，
∴使P到A、F距离之和最小的点P坐标为（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）
12. 对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，则k的取值范围是 ．
参考答案：
﹣4＜k≤0
【考点】全称命题；一元二次不等式的应用．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想．
【分析】对k=0与k＜0，k＞0，分别利用?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，求出k的范围．
【解答】解：当k=o时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0，﹣1＜0即是真命题，成立．
当k＜0时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，必有△=（﹣k）2+4k＜0，
解得，﹣4＜k＜0，
当k＞0时，对?x∈R，kx2﹣kx﹣1＜0是真命题，显然不成立．
综上，﹣4＜k≤0．
故答案为：﹣4＜k≤0
【点评】本题考查不等式的解法，恒成立问题，考查转化思想，分类讨论．
13. 已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，下列命题中：①；②；③；④
正确命题的序号为 _________ （注：把你认为正确的序号都填上）
参考答案：
略
14. 函数在区间上的最大值是 ;最小值是 .
参考答案：
13,4.
15. 观察以下等式：
可以推测 （用含有的式子表示，其中为正整数）
参考答案：
。（可推测，
）
略
16. 设公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q= ．
参考答案：
﹣2
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】通过记等比数列{an}的通项为an，利用Sn﹣Sn+1=Sn+2﹣Sn即﹣an?q=an?q+an?q2，计算即得结论．
【解答】解：记等比数列{an}的通项为an，
则an+1=an?q，an+2=an?q2，
又∵Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，
∴Sn﹣Sn+1=Sn+2﹣Sn，
即﹣an?q=an?q+an?q2，
∴q2+2q=0，
∴q=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
17. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是
参考答案：
8
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列是首项是2，公比为q的等比数列，其中是与的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）求数列的前n项和
参考答案：
（1） ，。
(2) ，
（1）∵是与的等差中项 , ∴ ,又数列是首项是2，公比为q的等比数列,解得,∴或.当; 当时, .
(2) 当时, ;当时, .
19. （14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程表示双曲线．
（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；
（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；
（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，
则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，
故△=4a2﹣12a≤0，
解得：a∈[0，3]，
故当a=1时，命题p为真命题；
（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，
则（a+2）（a﹣2）＜0．
解得：a∈（﹣2，2），
若命题“p且q“为真命题，
则命题p，命题q均为真命题，
故a∈[0，2）．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．
20. 已知数列中，，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，数列的前项和为，求的通项公式；
（3）求数列的前项和。
参考答案：
解析：（1）∵ ∴
∴， 累乘，得。
（2） ∴
当时，
时，也符合
∴的通项公式是
（3）数列是首项为，公差的等差数列
当，即时，；
当时，=
综上所述，
21. 某商店经销一种世博会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，）的税收.设每件产品的售价为元(),根据市场调查,日销售量与(为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值．
参考答案：
（1）设日销售量为
则日利润
（2）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35
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