2022～2023学年度高一上学期月考（一）
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第一册第一章、第二章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】改变量词，否定结论即可
【详解】“，”的否定是“，”
故选：B
2. 已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，求出即可.
【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，
，
.
故选：B.
3. 已知，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】利用基本不等式求出最小值.
【点睛】因为，所以，由基本不等式可得：，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4.
故选：A
4. 已知集合,,若,则( )
A. 7 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】3在A中，也在B中，从而先确定，再确定
【详解】因为,所以,即,从而
所以
故选：C
5. 给出下列结论:
①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则.
其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可
【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确
,则,即或,所以②错误
因为,所以,即,即,所以③正确
因为,所以,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
6. 若集合，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】集合是某些实数组成的数集，集合是平面的点集，因此，故选D．
【点睛】集合的问题中确定集合的元素是解决问题的基础，本题中集合是数集，集合是点集，两者当然没有公共元素，交集为空集．易犯错误：联立方程组，解得，得．
7. 已知，，，，则M与N的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】采用作差法计算与的大小关系，由此判断出的大小关系.
【详解】因为，且，，
所以，所以，
故选：A.
8. 设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合,那么下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】算出集合，再逐项判断即可
【详解】由题知
所以,即BC错误
故选：BC
10. 若全集，，，则全集可以等于（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合的交、并、补运算逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，所以，因为，所以，所以A正确，
对于B，因，，所以，因为，所以，所以B错误，
对于CD，因为，，，所以，，所以，，所以C错误，D正确，
故选：AD
11. 下列式子中，能使成立的充分条件有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据不等式性质，逐个判断即可得解.
【详解】对A，因为，所以，故A正确，
对B，，根据不等式的性质可得：，故B正确
对C，由于，所以，故C错误，
对D，由于，根据不等式的性质可得：，根D正确，
故选：ABD.
【点睛】本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.
12. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A B.
C. D. 当且仅当时，取得最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】将变形，根据基本不等式可求得的最值以及等号取得条件，由此判断A,D;再将变形为，利用基本不等式求得其最小值，由此判断B,C.
【详解】由，得，
因为，
所以，
当且仅当，且，即时，等号成立,
所以的最小值为9，故项正确；
因为， ,当且仅当时，即时取等号，
所以，故B项正确，C项不正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，可得，从而可得出答案.
【详解】解：∵，∴，∴．
故答案为：.
14. “”是“”的______条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据定义直接分析即可
【详解】因为推不出,所以是的不充分条件
因为能推出,所以是的必要条件
所以是的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
15. 集合，，若，则由实数组成的集合为____
【答案】.
【解析】
【分析】由集合的包含关系可得或或，再求出对应的a值，即可得结果.
【详解】集合，，且，
或或，
．则实数组成的集合为.
故答案为：.
16. 已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断．
【详解】如图是函数的图象（图中隐去了轴），
为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集,集合,集合为小于6的质数.
（1）求;
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可
（2）求出A的补集再与集合B求交集即可
【小问1详解】
由得或
所以
又,所以
【小问2详解】
,所以
所以
18. 若关于x的不等式的解集是
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解）
试题解析：
（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1，
∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，
∴a的值为﹣2；
（2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0，
∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣，
∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}．
考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集．
19. 设全集，集合，
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数a取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简集合B，根据交集运算即可求解；
（2）由可得，据此建立不等式求解即可.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）由集合C中的不等式，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
20. 已知集合.
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】分与两种情况，结合根的判别式进行求解.
小问1详解】
由题意得：当时，，解得：，解集不为空集，舍去；
当时，，解得：，所以的取值范围是；
【小问2详解】
当时，，，，满足题意；
当时，，解得：，
综上：的取值范围是.
21. 已知关于的不等式的解集为，（）.
（1）求实数，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集，结合韦达定理列出方程，即可求得的值.
（2）由（1）中的结果，结合基本不等式，可得，然后代入不等式，即可求得的范围.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以，且，可得
即
【小问2详解】
由（1）知，则，即
所以
当且仅当时，即时，等号成立.
故恒成立，
即恒成立，
所以，解得
故
22. （1）已知集合，求实数的取值范围；
（2）在上定义运算“”：，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）对m进行分类讨论：① m=2验证显然成立；② m≠2时，利用判别式法即可求解；
（2）先把不等式化为，利用分离参数法得到.
求出的最大值得到,即可解出m的取值范围.
【详解】（1）因为对于任意x∈R,都有恒成立.
①当m-2=0,即m=2时，不等式为-4<0对任意x∈R恒成立,∴m=2符合题意；
②当m-2≠0,即m≠2时， 对于任意x∈R恒成立，
只需,解得，所以-2
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