第四章 一元一次方程（知识串讲+热考题型） 七年级数学上册

第四章 一元一次方程 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念：用等号表示相等关系的式子。 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 特征：它含有未知数，同时又是—个等式。 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 【特征】 1. 只含有一个未知数x 2. 未知数x的次数都是1 3. 等式两边都是整式。 方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础） 等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 表示为：如果a=b，则a±c=b±c 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 表示为：如果 a=b，那么ac = bc 如果 a=b(c≠0)，那么 = 【注意事项】 1．等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。 2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 知识点三 解一元一次方程 合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） 去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点四 实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【考查题型】 考查题型一 一元一次方程的概念 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（    ） A． B． C．（a，b为常数） D． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、当a=0，b≠0时，方程（a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程（a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意； D、将化为一般式为，通过观察可得是一元二次方程，故符合题意； 故选D． 2．已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x+x﹣1；④；⑤3x＝1；⑥﹣2＝2．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：① 3x＝6y含有两个未知数，故①不是一元一次方程； ② 2x＝0，含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故②是一元一次方程； ③ ＝4x+x﹣1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故③是一元一次方程； ④含一个未知数，并且含未知数的项的最高次数为2，故④不是一元一次方程； ⑤3x＝1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故⑤是一元一次方程； ⑥ ﹣2＝2分母中有未知数，不是整式方程，故⑥不是一元一次方程． 其中是一元一次方程的有：②③⑤，共三个． 故选：B． 3．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为(   ) A．-2 B． C．2 D．0 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得m＝−2． 故选：A． 4．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．2 B．－3 C． D．1 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得． 故选B． 考查题型二 等式的性质 5．运用等式性质进行的变形，一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【详解】解：A．根据等式性质，a＝b两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故选项错误，不符合题意； B．如果，那么a +c−c =b−c-c，即a=b-2c，故选项错误，不符合题意； C．如果，那么成立的条件是c≠0，原变形错误，故选项错误，不符合题意； D．如果，那么a=b，故选项正确，符合题意； 故选：D． 6．如图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【详解】解： 方程两边同时乘以4，去分母得：①， 去括号得：②， 移项得：③， 合并同类项得：④， 方程的两边同时除以-5得：⑤． ∴依据等式的基本性质的步骤有①③⑤． 故选：C 7．根据等式的性质，下列变形中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】解：A、若，则，选项说法错误，不符合题意； B、若，则，选项说法正确，符合题意； C、若，,则，选项说法错误，不符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．已知，用含x的代数式表示y，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵2x-y=6， ∴y=2x-6， 故选：B． 考查题型三 解一元一次方程 9．若关于x的方程有一个根为1，则a的值为（　　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为1， ∴， ∴， 故选C． 10．如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3和2a﹣15互为相反数， 即(a+3)+(2a﹣15)＝0； 解得a＝4， 则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7； 则这个数为＝49； 故选：B． 11．下列方程变形中，正确的是（    ） A．，去分母，得 B．，移项，得 C．，去括号，得 D．，两边都除以2，得 【详解】解：A，，去分母，得，故本选项错误，不合题意； B，，移项，得，故本选项正确，符合题意； C，，去括号，得，故本选项错误，不合题意； D，，两边都除以2，得，故本选项错误，不合题意； 故选B． 12．下列解方程的步骤，正确的是（  ） A．将去括号，得 B．由，得 C．将去分母，得 D．由，得 【详解】解：A、将去括号，得，故本选项错误，不符合题意； B、由，得，故本选项正确，符合题意； C、将去分母，得，故本选项错误，不符合题意； D、由，得，故本选项错误，不符合题意； 故答案为：B. 13．解方程时，去分母后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：， 方程两边同乘以4去分母，得，即， 故选：C． 14．解一元一次方程的过程中，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由原方程得：，故选：D． 15．规定，若，则x的值是（    ） A．－60 B．4.8 C．24 D．－12 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故选D． 考查题型四 实际问题与一元一次方程 常见题型一 配套问题和工程问题 【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据. 【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题 16．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球， 依题意得：， 解得：x＝18， ∴34﹣x＝34﹣18＝16． 答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球． 17．某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？每天能生产成多少套？（列一元一次方程求解） 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件， 12x×2＝23（94﹣x）×1， 解得x＝46， 94﹣46＝48（人）， 每天生产（套）． 故应分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，每天能生产成552套． 18．某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务．问这批加工任务共有多少件？ 【详解】解：设计划x天完成，则实际天完成，根据题意得： ， 解得：， （件）， 答：这批加工任务共有3360件． 19．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时． (1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？ (2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？ （1） 解： ＝ ＝ ＝（小时）． 故需小时完成这项工作任务的一半； （2） 解：设甲、乙合作，还需x小时才能完成这项工作，依题意有： ， 解得x=． 故还需小时才能完成这项工作． 常见题型二 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量 利润= 商品售价-商品进价 利润率=（利润÷商品进价）×100% 现售价 = 标价×折扣 售价 = 进价×（1+利润率） 20．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【详解】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元， 根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500-x）-500=157， 解得：x=300，500-x=200． 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元． 21．一个手机商店，同时卖出两款手机，都卖1200元，其中一个盈利50%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店是盈利了还是亏损了？盈亏多少元？ 【详解】解：设盈利的进价是x元，依题意得 1200﹣x＝50%x， 解得 x＝800， 设亏本的进价是y元．则 y﹣1200＝20%y， 解得 y＝1500， 所以1200+1200﹣800﹣1500＝﹣100（元）． 故这家商店是亏损了，亏了100元． 22．某商店销售一种电器，先将成本价提高30%作为标价进行出售，结果每销售一件该电器可以获利60元利润． (1)求这种电器的成本价为多少？ (2)因市场调整原因，商品需要下架，所以当这批电器销售出100台时，剩下的40台按照标价的五折进行销售，请问：商店是赚了还是亏了？赚了或亏了多少钱，为什么？ （1） 解：设这种电器的成本价为x元， 由题意得：， 解得， ∴这种电器的成本价为200元， 答：这种电器的成本价为200元； （2） 解：商店赚了3200元，理由如下： 元， ∴商店是赚了3200元； 常见题型三 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 23．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，某队在15场比赛中得到24分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 【详解】解：设胜了 x 场， 那么负了 场， 根据题意得： 解得： ∴负的场数为： 那么这个