河北省承德市选将营中学2022年高二数学文期末试卷含解析

河北省承德市选将营中学2022年高二数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设x1，x2?R，常数a>0，定义运算“”x1x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，)的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分                                   D. 抛物线的一部分   参考答案： D 2. 已知的图象与轴切于，则的极值情况是（    ） A．极大值为，极小值为B．极大值为，极小值为 C．极大值为，没有极小值D．极小值为，没有极大值 参考答案： B 略 3. 若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 参考答案： C 4. 直线的倾斜角是 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 参考答案： C 【分析】 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可． 【详解】因为直线的斜率为：，直线的倾斜角为：． 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用． 5. 计算的结果是 A． B． C． D． 参考答案： B 略 6. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　） A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案． 【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{an}，其中a1=103，d=13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5； 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m++97m+=2×1125， 解得：m=9． 故选：A． 7. 给出下列3个命题： 命题p：若a2≥20，则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆． 命题q：?m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解． 命题r：?m∈（1，3），msinx+mcosx=3． 那么，下列命题为真命题的是（　　） A．p∨r B．p∧（￢q） C．（￢q）∧（￢r） D．（￢p）∧q 参考答案： D 【考点】复合命题的真假． 【分析】命题p：由方程x2+y2+ax+5=0化为： +y2=﹣5表示一个圆，则﹣5＞0，a2＞20，即可判断出命题的真假． 命题q：?x∈R，0.1x＞0，∈[m，﹣m]，可知：?m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解，即可判断出真假． 命题r：由m∈（1，3），则msinx+mcosx=msin∈＜3，即可判断出真假． 【解答】解：命题p：由方程x2+y2+ax+5=0化为： +y2=﹣5表示一个圆，则﹣5＞0，a2＞20，由a2≥20是方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆的必要不充分条件，因此是假命题． 命题q：∵?x∈R，0.1x＞0，﹣msinx∈[m，﹣m]，可知：?m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解，是真命题． 命题r：若m∈（1，3），则msinx+mcosx=msin∈＜3，因此r是假命题． 那么，下列命题为真命题的是：D． 故选：D． 8. 已知是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是 ①                    ②  ③          ④ A．①②           B．②④          C．③④          D．①③ 参考答案： D 略 9. 已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到． 【解答】解：由于PF⊥x轴， 则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得， y2=b2（1﹣）=， y=， 又|PF|=|AF|， 即=（a+c）， 即有4（a2﹣c2）=a2+ac， 即有（3a﹣4c）（a+c）=0， 则e=． 故选B． 10. 的大小关系是（    ） A              B            C               D 无法确定   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式,则的取值范围为______． 参考答案： (-3,1] 略 12. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）V＝πr3，观察发现V′＝S。则四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度W＝_______________． 参考答案： 略 13. 设复数z实部为正数，满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数，则=              参考答案：      4-3i   略 14. 在△ABC中，A =60°，b=1，面积为，则的值是          参考答案： 15. 已知函数为R上的奇函数，的导数为，且当时，不等式成立，若对一切恒成立，则实数的取值范围是___________________. 参考答案： 16. 已知且，则的最小值为________________. 参考答案： 4 略 17. 若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是             ． 参考答案： m＞2 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；直线与圆． 【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离， ∴圆心到直线的距离d＞r，即＞， 解得：m＞2， 故答案为：m＞2． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}． （1）若A?B，求实数a的取值范围； （2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求?UA及A∩（?UB）． 参考答案： 【考点】函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）首先求出集合A，根据A?B，利用子集的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围； （2）直接运用补集及交集的概念进行求解． 【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：﹣2＜x≤3． 所以，A={x|﹣2＜x≤3}． 又因为B={x|x＜a}，要使A?B，则a＞3． （2）因为U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x≤3}，所以CUA={x|x≤﹣2或3＜x≤4}． 又因为a=﹣1，所以B={x|x＜﹣1}． 所以CUB={﹣1≤x≤4}，所以，A∩（CUB）=A={x|﹣2＜x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题． 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，E是PB上任意一点 . （I）求证： AC⊥DE； （II）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值 .   参考答案： (1)证明：∵ 平面，平面              ∴             又∵是菱形  ∴             ∴平面   ∵平面             ∴              …………6分 （2）分别以方向为轴建立空间直角坐标系，设，则 20. 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）过点A（2，2）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可； （Ⅱ）求出函数的导数，计算切线的斜率，求出切线方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx﹣3， 依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0， 即，解得a=1，b=0． （Ⅱ）：∵f′（x）=3x2﹣3， 设切点坐标为（t，t3﹣3t）， 则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t）， ∵切线过点P（2，2），∴2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t）， 化简得t3﹣3t2+4=0，∴t=﹣1或t=2， ∴切线的方程：y=2或9x﹣y﹣16=0． 　 21. 已知函数f（x）=ax3+x2a∈R. 在x=－处取得极值. （I）确定a的值； （II）若g（x）=f（x）·ex，讨论g（x）的单调性. 参考答案： （I）对f（x）求导得f'（x）=3ax2+ax， 因为f（x）在x=－处取得极值，所以f'（－）=0， 即3a·+2·（－）=－=0，解得a=. （II）由（I）得g（x）=（）ex，故g'（x）=（）ex+（）ex＝（）ex =x（x+1）（x+4）ex. 令g'（x）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 当x<－4时，g' （x）<0，故g（x）为减函数； 当－40，故g（x）为增函数； 当－10时，g'（x）>0，故g（x）为增函数. 综上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数. 22. 某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图： （Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩； （Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为，求|﹣|≤1的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 【分析】（Ⅰ）读取茎叶图数据，求得平均数 （Ⅱ）列举从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数，满足|﹣|≤1的结果个数得出结果． 【解答】解：（Ⅰ） ==77．… （Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}，{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个； 其中满足|﹣|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个． 所以满足|﹣|≤1的概率P==．…