河北省保定市第四职业中学高二数学理模拟试题含解析

河北省保定市第四职业中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设M是△ABC内一点，且，∠BAC=30°，定义f(M)=(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(，x，y)，则的最小值是………………………………………………………………………………………（    ） A、8            B、9 C、16             D、18 参考答案： D 2. 某班一共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是(    ) A.13           B.19           C.20          D.51 参考答案： C 略 3. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（　　） A．A种 B．AA种 C．CA种 D．CCA种 参考答案： C 【考点】计数原理的应用． 【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查； 则必有2名水暖工去同一居民家检查， 即要先从4名水暖工中抽取2人，有C42种方法， 再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有A33种情况， 由分步计数原理，可得共C42A33种不同分配方案， 故选C． 4. 用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1（n∈N+）”的过程中，第二步n=k时等式成立，则当n=k+1时，应得到（　　） A．1+2+22+…+2k﹣2+2k﹣1=2k+1﹣1 B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1 C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1 D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k+1﹣1 参考答案： D 【考点】RG：数学归纳法． 【分析】把n=k+1代入等式即可． 【解答】解：当n=k+1时，等式左边为1+2+22+…+2k，等式右边为2k+1﹣1， 故选D． 5. 设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 参考答案： A 6. 已知点（3，4）在椭圆上，则以点为顶点的椭圆的内接矩形的面积是                    （　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                        A、12　　　B、24　　　　C、48　　　　D、与的值有关 参考答案： C 略 7. 已知为异面直线，平面，平面．直线满足则                                       （　  　） A．,且 B．,且 C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于 参考答案： D 8. 下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（   ） A．         B．       C．        D．  参考答案： D 9. 下列命题中的说法正确的是（　　） A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＞0” D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用；四种命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑． 【分析】A．根据否命题的定义进行判断． B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断． C．根据逆命题的定义进行判断． D．根据逆否命题的真假性关系进行判断． 【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误， B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误， D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础． 10. 用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（   ） A．或                     B．且 C．或                     D．且 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是　      　． 参考答案： 【考点】2H：全称命题． 【分析】命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，可得a≤． 【解答】解：命题“?x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，∴a≤=﹣． 则a的取值范围是． 故答案为：． 12. 将一个容量为M的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二，三组的频率分别为0.35和0.45，则M=    ． 参考答案： 50 13. 若lgx+lgy=1，则的最小值为____. 参考答案： 　２　 略 14. 在中，角的对边分别为，若成等差数列，，的面积为，则         参考答案： 15. 若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为   ▲     参考答案： 16. 设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　　． 参考答案： [﹣3，3] 【考点】简单线性规划． 【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大 由可得B（1，2），由可得A（3，0） ∴Zmax=3，Zmin=﹣3 则z=x﹣2y∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3] 【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 17. 平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积　　． 参考答案： 3π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积． 【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形， 所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为： 所以球的表面积为： =3π． 故答案为：3π． 【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）已知函数. （1）求f(x)的极大值； （2）若f(x)在[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围。 参考答案： （1）由已知f(x)的定义域为R，---1’----2’          ------3’ x (-∞,-3)   -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f’(x)    ＋    0 －   0 ＋ f(x) 单调递增↗   28 单调递减↘   -4 单调递增↗ -----4’ ∴当x=-3时，f(x)有极大值f(-3)=28------5’ （2）由（1）可知f(x)在[1，2]为增函数，在[-3，1]为减函数，（-∞，-3）为增函数，且f(2)=3，f(-3)=28,--------8’    故所求k的取值范围为k≤-3,即.-----10’ 19. 已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞2． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，推出函数的单调性即可． （Ⅱ）不妨设x1＜x2，推出0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，利用函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，得到x1＞2﹣x2，转化为：0=f（x1）＜f（2﹣x2）．求出，构造函数设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，再利用形式的导数，求出函数的最值，转化求解即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ），… f'（x）=0?x=1，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0． 所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．… （Ⅱ）证明：，f（0）=1，不妨设x1＜x2， 又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1， 又函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减， 所以x1+x2＞2?x1＞2﹣x2等价于f（x1）＜f（2﹣x2）， 即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．… 又，而， 所以，… 设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex，则g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．… 当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＞0． 而恒成立， 所以当x＞1时，， 故x1+x2＞2．… 20. 已知函数f（x）=sin+2sin2（x﹣） （x∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的递增区间． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）利用差角三角函数，结合辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）由已知，即可求函数f（x）的递增区间． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos =2[]+1 =2sin+1 =2sin（2x﹣）+1． ∴T==π．…（6分） （Ⅱ）由已知 得： 所以函数f（x）的递增区间为…（12分） 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 21. （本小题满分10分）．若函数在处取得极值.    （1）求的值；    （2）求函数单调区间及极值 参考答案： 解：（1），由，得．    （2）． ． 由，得x=1或x=2． ①当时； ②当时或．  www.k@s@5@