江西省赣州市南亨中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

江西省赣州市南亨中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，，则（    ） A．       B．     C． D． 参考答案： C ，所以 ，选C. 2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点的（      ）   A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变   B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变   C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变   D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 参考答案： B 略 3. 已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上点P和A、B的连线的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 （A）      （B）      （C）      （D） 参考答案： B 4. 已知实数x，y满足约束条件 ，则z= +1的取值范围是（　　） A．[﹣，] B．[，] C．[，] D．[，] 参考答案： D 【分析】由约束条件作出可行域，再由z=+1的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率加1求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（4，﹣1）， 联立，解得B（2，4）， z=+1的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率加1． ∵，， ∴z=+1的取值范围是[]． 故选：D． 5. 将函数的图形按向量平移后得到函数的图形，满足和，则向量的一个可能值是（    ）        A．       B．  C．     D． 参考答案： D 6. “”是 “”的（   ） A．充分不必要条件     B．必要不充分条件       C．充要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 考点：充分、必要条件的判定. 7. 在等差数列中，， 则为（    ） （A）（B）    （C）       （D）  参考答案： 答案：B 8. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝.又函数g(x)＝cos，x∈[－3，3]，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和等于(   ) 参考答案： D f(x)＝g(x)选D. 9. 命题的否定是(   ) A.    B.    C.    D. 参考答案： 【知识点】含量词的命题的否定.  A3 【答案解析】B解析：命题的否定是，故选B. 【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论. 10. 若F1、F2为双曲线C：-y2=1的左、右焦点，点P在双曲线C上∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为   A．    B．    C．    D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆的弦AB的中点为(－1,1)，直线AB交x轴于点P，则的值为    . 参考答案： －5 12. 如图, 为外一点, 过点作的两条切线, 切点分别为, , 过的中点作割线交于, 两点, 若, , 则 ______．   参考答案： 4 略 13. 设,一元二次方程有正数根的充要条件是=      参考答案： 3或4 本题考查了韦达定理以及充要条件的判定问题，难度一般。   因为，由韦达定理可知，4分解为1+3或者2+2，因此的取值为3或者4. 14. 将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是         ． （1） 平面ABC⊥平面ACD    （2）四面体D-ABC的体积是 （3）二面角的正切值是  （4）BC与平面ACD所成角的正弦值是 参考答案：   （3）（4） 15. 函数的增区间为____________． 参考答案：   试题分析：因为的图象开口向上，且对称轴方程是，所以在上递增，故答案为. 考点：二次函数的图象及单调性. 16. 08年泉州一中适应性练习文）某市有高中三所，A学校有学生4000人，B学校有学生2000人，C学校有学生3000人，现欲通过分层抽样的方法抽取900份试卷，调查学生对2008年奥运会关心的情况，则从A学校抽取的试卷份数应为____________________________。 参考答案： 答案：400 17. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若成等比数列，且则=            。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （Ⅰ）求不等式的解集M； （Ⅱ）当时，证明：. 参考答案： 略 19. 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点． (1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若，求直线l的方程； (3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B2PQ的面积的取值范围． 参考答案： 解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90o，得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中，，从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分 (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ，又，所以 ………………………………8分 由，得=0，即，解得；   所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分  (3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分 当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离， 因此t=，得………………………………………13分 联立方程组：得，由韦达定理知， ，所以， 因此. 设，所以，所以…15分 综上所述：△B2PQ的面积……………………………………………16分 略 20. 设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥； （Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证． （2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围． 【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当ex≥1+x 令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1 当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在是减函数 于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x 所以当x＞﹣1时，f（x）≥ （2）由题意x≥0，此时f（x）≥0 当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立； 当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则 f（x）≤当且仅当h（x）≤0 因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x） （i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x） h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x） =（2a﹣1）f（x）≤0， h（x）在 【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在． 21. （14分）（2007?天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值； （Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立． 参考答案： 考点： 函数单调性的性质． 专题： 压轴题． 分析： （Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用点斜式写切线方程． （Ⅱ）求导，令f′（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可． （Ⅲ）有（Ⅱ）可知当a＞3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x恒成立，分离参数求解即可． 解答： 解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，且f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5． 所以，曲线y=﹣x（x﹣1）2在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0．   （Ⅱ）解：f（x）=﹣x（x﹣a）2=﹣x3+2ax2﹣a2xf'（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a）． 令f'（x）=0，解得或x=a． 由于a≠0，以下分两种情况讨论． （1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表： x （﹣∞，） （，a） a （a，+∞） f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ 因此，函数f（x）在处取得极小值，且； 函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0． （2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表： x （﹣∞，a） a （a，） （，+∞） f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ 因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0； 函数f（x）在处取得极大值，且．   （Ⅲ）证明：由a＞3，得，当k∈时，k﹣cosx≤1，k2﹣cos2x≤1． 由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，要使f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x），x∈R 只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x（x∈R） 即cos2x﹣cosx≤k2﹣k（x∈R）① 设，则函数g（x）在R上的最大值为2． 要使①式恒成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1． 所以，在区间上存在k=﹣1，使得f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立． 点评： 本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法． 22. 19（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，，连接并延长交于. 求证：； 求平面 与平面的夹角的余弦值.   参考答案：